Arbitrage volume in a dead-band pool

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.12%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22plotly%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.24.2%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Arbitrage%20volume%20in%20a%20dead-band%20pool%22%2C%0A)%0A%0Awith%20app.setup%3A%0A%20%20%20%20import%20math%0A%20%20%20%20from%20typing%20import%20Any%0A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%0A%20%20%20%20KAPPA_STAR%20%3D%20math.sqrt(math.pi%20%2F%208)%0A%20%20%20%20SIEGMUND%20%3D%200.5826%20%20%23%20mean%20overshoot%20of%20a%20Gaussian%20walk%20over%20a%20barrier%2C%20%E2%88%92%CE%B6(%C2%BD)%2F%E2%88%9A(2%CF%80)%0A%20%20%20%20SECONDS_PER_YEAR%20%3D%20365.25%20*%2086400.0%0A%0A%20%20%20%20%23%20dataviz%20reference%20palette%2C%20first%20three%20categorical%20slots%20(validated%20adjacent%20%2B%20all-pairs%2C%20light%20and%20dark)%0A%20%20%20%20PALETTE%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22light%22%3A%20%7B%22s1%22%3A%20%22%232a78d6%22%2C%20%22s2%22%3A%20%22%23eb6834%22%2C%20%22s3%22%3A%20%22%231baf7a%22%2C%20%22muted%22%3A%20%22%23898781%22%2C%20%22grid%22%3A%20%22%23e1e0d9%22%2C%20%22ink%22%3A%20%22%230b0b0b%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22dark%22%3A%20%7B%22s1%22%3A%20%22%233987e5%22%2C%20%22s2%22%3A%20%22%23d95926%22%2C%20%22s3%22%3A%20%22%23199e70%22%2C%20%22muted%22%3A%20%22%23898781%22%2C%20%22grid%22%3A%20%22%232c2c2a%22%2C%20%22ink%22%3A%20%22%23ffffff%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20erf_approx(x%3A%20np.ndarray)%20-%3E%20np.ndarray%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22Abramowitz%20%26%20Stegun%207.1.26%2C%20%7Cerror%7C%20%3C%201.5e-7.%20Keeps%20the%20notebook%20free%20of%20scipy%20for%20the%20WASM%20build.%22%22%22%0A%20%20%20%20sign%20%3D%20np.sign(x)%0A%20%20%20%20ax%20%3D%20np.abs(x)%0A%20%20%20%20t%20%3D%201.0%20%2F%20(1.0%20%2B%200.3275911%20*%20ax)%0A%20%20%20%20poly%20%3D%20((((1.061405429%20*%20t%20-%201.453152027)%20*%20t%20%2B%201.421413741)%20*%20t%20-%200.284496736)%20*%20t%20%2B%200.254829592)%20*%20t%0A%20%20%20%20return%20np.asarray(sign%20*%20(1.0%20-%20poly%20*%20np.exp(-ax%20*%20ax)))%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20norm_cdf(a%3A%20np.ndarray)%20-%3E%20np.ndarray%3A%0A%20%20%20%20return%200.5%20*%20(1.0%20%2B%20erf_approx(np.asarray(a%2C%20dtype%3Dfloat)%20%2F%20math.sqrt(2.0)))%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20norm_pdf(a%3A%20np.ndarray)%20-%3E%20np.ndarray%3A%0A%20%20%20%20return%20np.exp(-0.5%20*%20np.asarray(a%2C%20dtype%3Dfloat)%20**%202)%20%2F%20math.sqrt(2.0%20*%20math.pi)%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20arb_residuals(phi%3A%20float%2C%20phi_ext%3A%20float%20%3D%200.0)%20-%3E%20tuple%5Bfloat%2C%20float%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22Where%20the%20arbitrageur%20stops%2C%20in%20log-price%2C%20above%20(buying%20base)%20and%20below%20(selling%20base)%20the%20reference.%0A%0A%20%20%20%20Fee%20phi%20on%20the%20quote%20leg%20in%20both%20directions%3B%20phi_ext%20is%20any%20friction%20paid%20per%20unit%20of%0A%20%20%20%20volume%20on%20the%20reference%20venue%20(taker%20fee%2C%20gas%20amortised%20over%20the%20trade).%20Both%20residuals%20are%20%E2%89%88%20phi%20%2B%20phi_ext.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20d_plus%20%3D%20math.log((1.0%20%2B%20phi)%20%2F%20(1.0%20-%20phi_ext))%0A%20%20%20%20d_minus%20%3D%20math.log((1.0%20%2B%20phi_ext)%20%2F%20(1.0%20-%20phi))%0A%20%20%20%20return%20d_plus%2C%20d_minus%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20band_split(u%3A%20float%2C%20n_grid%3A%20int%20%3D%20201)%20-%3E%20tuple%5Bfloat%2C%20float%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22Stationary%20split%20of%20the%20reference%20variance%20for%20the%20unit%20walk%20truncated%20to%20%5B-u%2C%20u%5D.%0A%0A%20%20%20%20Returns%20(fee_share%2C%20arb_share)%3A%20fee_share%20%3D%202u%C2%B7E%5Bd%5D%20is%20the%20LP's%20fee%20income%20F%20over%20%C2%BD%CE%A3(X)%2C%20arb_share%20%3D%20E%5Bd%C2%B2%5D%0A%20%20%20%20is%20the%20arbitrageur's%20profit%20%C2%BD%CE%A3(x)%20over%20%C2%BD%CE%A3(X).%20Solved%20on%20a%20Markov%20chain%20with%20atoms%20at%20%C2%B1u%20(the%20post-trade%0A%20%20%20%20states)%20and%20n_grid%E2%88%921%20interior%20cells%3B%20the%20two%20are%20computed%20independently%20so%20their%20sum%20tests%20the%20identity.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20edges%20%3D%20np.linspace(-u%2C%20u%2C%20n_grid)%0A%20%20%20%20centres%20%3D%200.5%20*%20(edges%5B%3A-1%5D%20%2B%20edges%5B1%3A%5D)%0A%20%20%20%20states%20%3D%20np.concatenate((%5B-u%5D%2C%20centres%2C%20%5Bu%5D))%0A%20%20%20%20n%20%3D%20states.size%0A%20%20%20%20cdf%20%3D%20norm_cdf(edges%5BNone%2C%20%3A%5D%20-%20states%5B%3A%2C%20None%5D)%0A%20%20%20%20p%20%3D%20np.empty((n%2C%20n))%0A%20%20%20%20p%5B%3A%2C%200%5D%20%3D%20cdf%5B%3A%2C%200%5D%0A%20%20%20%20p%5B%3A%2C%201%3A-1%5D%20%3D%20np.diff(cdf%2C%20axis%3D1)%0A%20%20%20%20p%5B%3A%2C%20-1%5D%20%3D%201.0%20-%20cdf%5B%3A%2C%20-1%5D%0A%20%20%20%20a%20%3D%20p.T%20-%20np.eye(n)%0A%20%20%20%20a%5B-1%2C%20%3A%5D%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20rhs%20%3D%20np.zeros(n)%0A%20%20%20%20rhs%5B-1%5D%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20pi%20%3D%20np.linalg.solve(a%2C%20rhs)%0A%20%20%20%20up%20%3D%20states%20-%20u%20%20%23%20E%5B(z%20%2B%20%CE%B5%20%E2%88%92%20u)%E2%81%BA%5D%20%3D%20a%20%CE%A6(a)%20%2B%20%CF%86(a)%2C%20a%20%3D%20z%20%E2%88%92%20u%0A%20%20%20%20dn%20%3D%20-u%20-%20states%20%20%23%20E%5B(%E2%88%92u%20%E2%88%92%20z%20%E2%88%92%20%CE%B5)%E2%81%BA%5D%20%3D%20b%20%CE%A6(b)%20%2B%20%CF%86(b)%2C%20b%20%3D%20%E2%88%92u%20%E2%88%92%20z%0A%20%20%20%20mean_d%20%3D%20pi%20%40%20(up%20*%20norm_cdf(up)%20%2B%20norm_pdf(up)%20%2B%20dn%20*%20norm_cdf(dn)%20%2B%20norm_pdf(dn))%0A%20%20%20%20mean_d2%20%3D%20pi%20%40%20((1.0%20%2B%20up**2)%20*%20norm_cdf(up)%20%2B%20up%20*%20norm_pdf(up)%20%2B%20(1.0%20%2B%20dn**2)%20*%20norm_cdf(dn)%20%2B%20dn%20*%20norm_pdf(dn))%0A%20%20%20%20return%20float(2.0%20*%20u%20*%20mean_d)%2C%20float(mean_d2)%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20simulate_band(%0A%20%20%20%20sigma%3A%20float%2C%20phi%3A%20float%2C%20dt_seconds%3A%20float%2C%20years%3A%20float%2C%20n_paths%3A%20int%2C%20seed%3A%20int%2C%20phi_ext%3A%20float%20%3D%200.0%0A)%20-%3E%20dict%5Bstr%2C%20Any%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22Dead-band%20pool%20against%20a%20driftless%20log-Brownian%20reference%2C%20one%20arbitrage%20opportunity%20per%20block.%0A%0A%20%20%20%20All%20accumulators%20are%20per%20unit%20L.%20Fees%20are%20phi%C2%B7TV(x)%3B%20arbitrage%20profit%20uses%20the%20exact%20log-invariant%20swap%0A%20%20%20%20arithmetic%3A%20(1%2Bphi)(e%5Ed%20%E2%88%92%201%20%E2%88%92%20d)%20on%20a%20buy%2C%20(1%E2%88%92phi)(e%5E%7B%E2%88%92d%7D%20%E2%88%92%201%20%2B%20d)%20on%20a%20sell.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20step%20%3D%20sigma%20*%20math.sqrt(dt_seconds%20%2F%20SECONDS_PER_YEAR)%0A%20%20%20%20n_blocks%20%3D%20int(round(years%20*%20SECONDS_PER_YEAR%20%2F%20dt_seconds))%0A%20%20%20%20d_plus%2C%20d_minus%20%3D%20arb_residuals(phi%2C%20phi_ext)%0A%20%20%20%20rng%20%3D%20np.random.default_rng(seed)%0A%20%20%20%20z%20%3D%20np.zeros(n_paths)%0A%20%20%20%20x_ref%20%3D%20np.zeros(n_paths)%0A%20%20%20%20tv%20%3D%20np.zeros(n_paths)%0A%20%20%20%20sigma_pool%20%3D%20np.zeros(n_paths)%0A%20%20%20%20sigma_ref%20%3D%20np.zeros(n_paths)%0A%20%20%20%20arb%20%3D%20np.zeros(n_paths)%0A%20%20%20%20n_trades%20%3D%20np.zeros(n_paths%2C%20dtype%3Dnp.int64)%0A%20%20%20%20x_ref_path%20%3D%20np.zeros(n_blocks%20%2B%201)%0A%20%20%20%20x_pool_path%20%3D%20np.zeros(n_blocks%20%2B%201)%0A%20%20%20%20for%20k%20in%20range(n_blocks)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20eps%20%3D%20rng.normal(0.0%2C%20step%2C%20n_paths)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_ref%20%2B%3D%20eps%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sigma_ref%20%2B%3D%20eps%20*%20eps%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z%20%2B%3D%20eps%0A%20%20%20%20%20%20%20%20buy%20%3D%20z%20%3E%20d_plus%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sell%20%3D%20z%20%3C%20-d_minus%0A%20%20%20%20%20%20%20%20d%20%3D%20np.where(buy%2C%20z%20-%20d_plus%2C%200.0)%20%2B%20np.where(sell%2C%20-d_minus%20-%20z%2C%200.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tv%20%2B%3D%20d%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sigma_pool%20%2B%3D%20d%20*%20d%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_trades%20%2B%3D%20d%20%3E%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arb%20%2B%3D%20np.where(buy%2C%20(1.0%20%2B%20phi)%20*%20(np.expm1(d)%20-%20d)%2C%200.0)%20%2B%20np.where(sell%2C%20(1.0%20-%20phi)%20*%20(np.expm1(-d)%20%2B%20d)%2C%200.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z%20%3D%20np.clip(z%2C%20-d_minus%2C%20d_plus)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_ref_path%5Bk%20%2B%201%5D%20%3D%20x_ref%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_pool_path%5Bk%20%2B%201%5D%20%3D%20x_ref%5B0%5D%20-%20z%5B0%5D%0A%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22tv%22%3A%20tv%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22sigma_pool%22%3A%20sigma_pool%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22sigma_ref%22%3A%20sigma_ref%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22arb_profit%22%3A%20arb%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22n_trades%22%3A%20n_trades%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22n_blocks%22%3A%20n_blocks%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22step%22%3A%20step%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22x_ref_path%22%3A%20x_ref_path%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22x_pool_path%22%3A%20x_pool_path%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22t_days%22%3A%20np.arange(n_blocks%20%2B%201)%20*%20dt_seconds%20%2F%2086400.0%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20base_layout(theme%3A%20str%2C%20title%3A%20str)%20-%3E%20go.Layout%3A%0A%20%20%20%20c%20%3D%20PALETTE%5Btheme%5D%0A%20%20%20%20axis%20%3D%20%7B%22gridcolor%22%3A%20c%5B%22grid%22%5D%2C%20%22zeroline%22%3A%20False%2C%20%22linecolor%22%3A%20c%5B%22grid%22%5D%2C%20%22tickfont%22%3A%20%7B%22color%22%3A%20c%5B%22muted%22%5D%7D%7D%0A%20%20%20%20return%20go.Layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%7B%22text%22%3A%20title%2C%20%22font%22%3A%20%7B%22size%22%3A%2015%2C%20%22color%22%3A%20c%5B%22ink%22%5D%7D%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20paper_bgcolor%3D%22rgba(0%2C0%2C0%2C0)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plot_bgcolor%3D%22rgba(0%2C0%2C0%2C0)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font%3D%7B%22family%22%3A%20'system-ui%2C%20-apple-system%2C%20%22Segoe%20UI%22%2C%20sans-serif'%2C%20%22color%22%3A%20c%5B%22ink%22%5D%2C%20%22size%22%3A%2012%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3Daxis%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3Daxis%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3D%7B%22orientation%22%3A%20%22h%22%2C%20%22yanchor%22%3A%20%22bottom%22%2C%20%22y%22%3A%201.02%2C%20%22x%22%3A%200%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hovermode%3D%22x%20unified%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3D%7B%22l%22%3A%2060%2C%20%22r%22%3A%2090%2C%20%22t%22%3A%2060%2C%20%22b%22%3A%2050%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D420%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_title()%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Arbitrage%20volume%20in%20a%20dead-band%20pool%0A%0A%20%20%20%20*Logswap%20research%20note%201%20%E2%80%94%20why%20volume%20flows%20into%20a%20pool%20nobody%20routes%20to%2C%20how%20much%2C%20and%20what%20it%20is%20worth.*%0A%0A%20%20%20%20A%20question%20LPs%20ask%3A%20what%20guarantees%20any%20volume%20in%20a%20Logswap%20pool%3F%20This%20note%20answers%20it%20for%20the%20flow%20that%0A%20%20%20%20arrives%20on%20its%20own%20%E2%80%94%20arbitrage%20against%20a%20venue%20of%20effectively%20unlimited%20depth.%0A%0A%20%20%20%20**Notation.**%20A%20Logswap%20pool%20holds%20base%20and%20quote%20against%20the%20log%20invariant%3A%20its%20value%20as%20a%20function%20of%0A%20%20%20%20price%20is%20%24V(p)%20%5Cpropto%20%5Clog%20p%24%2C%20so%20the%20value%20of%20its%20base%20holdings%20in%20quote%2C%20%24L%20%3D%20pR%24%2C%20is%20a%20constant%20of%20the%0A%20%20%20%20position%20%E2%80%94%20the%20pool's%20**exposure**.%20%24x%20%3D%20%5Clog%20p%24%20is%20the%20price%20state%3B%20a%20swap%20that%20moves%20it%20by%20%24dx%24%20moves%0A%20%20%20%20%24L%5C%2Cdx%24%20of%20quote%2C%20at%20every%20price.%20%24%5Cphi%24%20is%20the%20fee%2C%20charged%20on%20the%20quote%20leg%20in%20both%20directions.%20The%20pool%0A%20%20%20%20keeps%20two%20accumulators%2C%20both%20per%20unit%20%24L%24%3A%20%24F%20%3D%20%5Cphi%5C%2C%5Cmathrm%7BTV%7D(x)%24%2C%20the%20fees%20earned%2C%20where%20%24%5Cmathrm%7BTV%7D%24%0A%20%20%20%20is%20the%20total%20variation%20of%20the%20log-price%3B%20and%20%24%5CSigma%20%3D%20%5Cint%20(dx)%5E2%24%2C%20the%20quadratic%20variation%20of%20its%20own%0A%20%20%20%20log-price.%20Volatility%20%24%5Csigma%24%20is%20annualised%3B%20%24%5CDelta%20t%24%20is%20the%20block%20time.%0A%0A%20%20%20%20The%20whitepaper%20calibrates%20the%20fee%20by%20equating%20fee%20income%20per%20block%2C%20%24%5Cphi%20L%5C%2C%5Cmathbb%7BE%7D%7C%5CDelta%20X%7C%20%3D%20%5Cphi%20L%5Csigma%5Csqrt%7B2%5CDelta%20t%2F%5Cpi%7D%24%2C%0A%20%20%20%20with%20the%20LVR%20bill%20%24%5Ctfrac12%5Csigma%5E2%5CDelta%20t%5C%2CL%24%2C%20giving%20%24%5Cphi%5E%5Cstar%20%3D%20%5Ckappa%5E%5Cstar%5Csigma%5Csqrt%7B%5CDelta%20t%7D%24%20with%0A%20%20%20%20%24%5Ckappa%5E%5Cstar%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cpi%2F8%7D%24.%20That%20takes%20the%20pool%20to%20move%20with%20the%20reference%20every%20block%2C%20which%20holds%20when%0A%20%20%20%20%24%5Cphi%20%5Cll%20%5Csigma%5Csqrt%7B%5CDelta%20t%7D%24.%20This%20note%20covers%20the%20other%20regime%20and%20joins%20the%20two.%20When%20the%20fee%20is%20the%0A%20%20%20%20binding%20friction%20the%20pool%20is%20a%20**dead-band%20follower**%3A%20its%20price%20moves%20only%20at%20the%20band%20edge%2C%20and%20volume%2C%0A%20%20%20%20fees%20and%20LVR%20are%20tied%20together%20by%20one%20identity.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_recap()%3A%0A%20%20%20%20def%20_share(phi_bp%3A%20float%2C%20dt_s%3A%20float%2C%20ext_bp%3A%20float%20%3D%200.0)%20-%3E%20float%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_delta%20%3D%20(phi_bp%20%2B%20ext_bp)%20*%201e-4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_u%20%3D%20_delta%20%2F%20(0.6%20*%20math.sqrt(dt_s%20%2F%20SECONDS_PER_YEAR))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20band_split(_u)%5B0%5D%20*%20phi_bp%20%2F%20(phi_bp%20%2B%20ext_bp)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20In%20short%0A%0A%20%20%20%20Fees%20are%20paid%20to%20the%20pool%20by%20the%20volume%20that%20arbitrage%20creates%3A%20takers%20closing%20the%20gap%20between%20the%20pool%0A%20%20%20%20and%20the%20reference.%20In%20a%20frictionless%20world%20%E2%80%94%20arbitrage%20continuous%2C%20nothing%20paid%20on%20the%20reference%20leg%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20that%20fee%20income%20equals%20the%20realized%20variance%20of%20the%20underlying%2C%20%24%5C%5Ctfrac12%5C%5Csigma%5E2%20L%24%20a%20year%2C%20whatever%20the%0A%20%20%20%20pool's%20fee%3B%20it%20cannot%20exceed%20it.%20With%20frictions%2C%20fees%20still%20flow%2C%20and%20the%20share%20of%20the%20variance%20they%0A%20%20%20%20capture%20is%20set%20by%20three%20things%3A%20the%20block%20time%20(the%20shorter%20the%20better)%2C%20the%20taker's%20cost%20on%20the%20reference%0A%20%20%20%20venue%20(the%20lower%20the%20better)%2C%20and%20the%20pool's%20own%20fee%20relative%20to%20both%20%E2%80%94%20large%20against%20one%20block's%20move%2C%0A%20%20%20%20and%20the%20larger%20part%20of%20what%20the%20taker%20pays%20in%20total%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5C%5Ctext%7B%7Bfees%20per%20year%7D%7D%20%5C%5Capprox%20%5C%5Ctfrac12%5C%5Csigma%5E2%20L%20%5C%5Ctimes%20%5C%5Cfrac%7B%7Bu%7D%7D%7B%7Bu%20%2B%200.58%7D%7D%20%5C%5Ctimes%0A%20%20%20%20%5C%5Cfrac%7B%7B%5C%5Cphi%7D%7D%7B%7B%5C%5Cphi%20%2B%20%5C%5Cphi_%7B%7B%5C%5Cmathrm%7B%7Bext%7D%7D%7D%7D%7D%7D%2C%20%5C%5Cqquad%20u%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B%5C%5Cphi%20%2B%20%5C%5Cphi_%7B%7B%5C%5Cmathrm%7B%7Bext%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7B%7B%5C%5Csigma%5C%5Csqrt%7B%7B%5C%5CDelta%20t%7D%7D%7D%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%5C%5Cphi%24%20is%20the%20pool's%20fee%3B%20%24%5C%5Cphi_%7B%7B%5C%5Cmathrm%7B%7Bext%7D%7D%7D%7D%24%20is%20what%20the%20taker%20pays%20per%20unit%20of%20volume%20on%20the%0A%20%20%20%20reference%20venue%20(its%20taker%20fee%2C%20plus%20gas%20amortised%20over%20the%20trade)%20%E2%80%94%20zero%20in%20the%20frictionless%20case%3B%20%24%5C%5Csigma%24%20is%0A%20%20%20%20the%20annualised%20volatility%20and%20%24%5C%5CDelta%20t%24%20the%20block%20time%2C%20so%20%24%5C%5Csigma%5C%5Csqrt%7B%7B%5C%5CDelta%20t%7D%7D%24%20is%20the%20size%20of%20one%20block's%0A%20%20%20%20move%3B%20and%20%24u%24%20is%20the%20combined%20fee%20the%20taker%20faces%20measured%20in%20block%20moves%20%E2%80%94%20large%20when%20the%20fee%20dominates%0A%20%20%20%20the%20block%20move%2C%20small%20when%20a%20single%20block's%20move%20dwarfs%20it.%20%240.58%24%20is%20the%20mean%20overshoot%20of%20a%20random%20walk%0A%20%20%20%20past%20a%20barrier%20(%C2%A74).%0A%0A%20%20%20%20At%2060%20%25%20volatility%3A%20on%2012%20s%20blocks%20a%205%20bp%20pool%20collects%20%7B_share(5%2C%2012)%3A.0%25%7D%20of%20the%20variance%20and%20a%2030%20bp%20pool%0A%20%20%20%20%7B_share(30%2C%2012)%3A.0%25%7D%3B%20on%200.1%20s%20blocks%20the%205%20bp%20pool%20collects%20%7B_share(5%2C%200.1)%3A.0%25%7D.%20Add%20a%202%20bp%20taker%20fee%20on%20the%0A%20%20%20%20reference%20leg%20and%20the%205%20bp%20pool%20on%2012%20s%20blocks%20collects%20%7B_share(5%2C%2012%2C%202)%3A.0%25%7D.%20The%20rest%20of%20the%20note%20derives%0A%20%20%20%20this%20and%20checks%20it%20by%20simulation.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_setting()%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20Setting%0A%0A%20%20%20%20-%20**Reference.**%20One%20venue%20(Binance%2C%20say)%20has%20unlimited%20depth.%20Its%20log-price%20%24X_t%24%20is%20a%20driftless%20Brownian%0A%20%20%20%20%20%20motion%20with%20annualised%20volatility%20%24%5Csigma%24%3A%20%24dX%20%3D%20%5Csigma%5C%2CdW%24.%20Every%20other%20venue%2C%20ours%20included%2C%20is%20a%0A%20%20%20%20%20%20lagged%20copy%20of%20it.%0A%20%20%20%20-%20**Pool.**%20Exposure%20%24L%24%2C%20fee%20%24%5Cphi%24%2C%20price%20state%20%24x_t%24.%20The%20pool's%20price%20moves%20only%20when%20someone%20trades.%0A%20%20%20%20%20%20Swapping%20the%20price%20from%20%24x%24%20to%20%24x%20%2B%20d%24%20costs%20%24L%5C%2Cd%24%20quote%20before%20fees%20and%20moves%20%24L%20e%5E%7B-x%7D(1%20-%20e%5E%7B-d%7D)%24%20base%0A%20%20%20%20%20%20%E2%80%94%20the%20log%20invariant's%20%24dQ%20%3D%20L%5C%2Cdx%24.%0A%20%20%20%20-%20**Arbitrageur.**%20Sees%20the%20reference%2C%20acts%20once%20per%20block%20of%20length%20%24%5CDelta%20t%24%2C%20trades%20only%20when%0A%20%20%20%20%20%20profitable%20after%20fees.%20Optional%20friction%20%24%5Cphi_%7B%5Cmathrm%7Bext%7D%7D%24%20per%20unit%20of%20volume%20on%20the%20reference%20leg%0A%20%20%20%20%20%20(taker%20fee%2C%20amortised%20gas).%0A%20%20%20%20-%20**No%20other%20flow.**%20Everything%20below%20is%20the%20arbitrage%20floor.%20Routed%20or%20retail%20flow%20adds%20to%20it.%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20the%20C-pool%20picture%3A%20a%20permissionless%20pool%20moved%20by%20arbitrage%2C%20as%20Uniswap%20is%20today.%20An%20F-pool%20with%0A%20%20%20%20whitelisted%20takers%20under%20an%20SLA%20(price%20within%2050%20bp%20of%20the%20oracle%2C%20say)%20is%20the%20same%20model%20with%20the%20band%20set%20by%0A%20%20%20%20the%20SLA%3B%20the%20taker%20keeps%20%24%5Cdelta_%7B%5Cmathrm%7BSLA%7D%7D%20-%20%5Cphi%24%20per%20unit%20of%20volume%20as%20first-order%20edge%2C%20the%0A%20%20%20%20%24%5Cphi_%7B%5Cmathrm%7Bext%7D%7D%24%20case%20of%20%C2%A73.5%20seen%20from%20the%20taker's%20side.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%20band%0A%0A%20%20%20%20An%20arbitrageur%20facing%20a%20mispricing%20%24m%20%3E%200%24%20who%20moves%20the%20pool%20by%20%24d%20%5Cle%20m%24%20buys%20%24L%20e%5E%7B-x%7D(1%20-%20e%5E%7B-d%7D)%24%20base%0A%20%20%20%20for%20%24L%20d%20(1%2B%5Cphi)%24%20quote%20and%20sells%20the%20base%20on%20the%20reference%20for%20%24L%20e%5E%7Bm%7D(1%20-%20e%5E%7B-d%7D)%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5CPi(d)%20%3D%20L%20e%5E%7Bm%7D%5Cbig(1%20-%20e%5E%7B-d%7D%5Cbig)%20-%20L%20d%20(1%2B%5Cphi)%2C%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5CPi%7D%7B%5Cpartial%20d%7D%20%3D%200%20%5Ciff%20d%5E%5Cstar%20%3D%20m%20-%20%5Clog(1%2B%5Cphi).%24%24%0A%0A%20%20%20%20They%20stop%20%24%5Capprox%5Cphi%24%20short%20of%20the%20reference%20whatever%20the%20size%20of%20the%20mispricing.%20With%20the%20external%0A%20%20%20%20friction%20the%20residual%20is%20%24%5Cdelta_%2B%20%3D%20%5Clog%5Cfrac%7B1%2B%5Cphi%7D%7B1-%5Cphi_%7B%5Cmathrm%7Bext%7D%7D%7D%24%0A%20%20%20%20above%20the%20reference%20and%20%24%5Cdelta_-%20%3D%20%5Clog%5Cfrac%7B1%2B%5Cphi_%7B%5Cmathrm%7Bext%7D%7D%7D%7B1-%5Cphi%7D%24%20below%2C%20both%20%24%5Capprox%20%5Cphi%20%2B%20%5Cphi_%7B%5Cmathrm%7Bext%7D%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20Define%20the%20**mispricing**%20%24z_t%20%3D%20X_t%20-%20x_t%24.%20After%20every%20block%20%24z_t%20%5Cin%20%5B-%5Cdelta_-%2C%20%5Cdelta_%2B%5D%24%3A%20a%20band%0A%20%20%20%20%24%5Capprox%202%5Cphi%24%20wide%2C%20centred%20on%20the%20pool%20price.%20Between%20blocks%20%24z%24%20diffuses%20with%20the%20reference.%20At%20a%20block%2C%0A%20%20%20%20if%20%24%7Cz%7C%20%3E%20%5Cdelta%24%20the%20arbitrageur%20trades%20%24d%20%3D%20%7Cz%7C%20-%20%5Cdelta%24%20and%20pushes%20%24z%24%20back%20to%20the%20edge.%20The%20pool's%0A%20%20%20%20path%20is%20the%20reference%20minus%20a%20bounded%20process%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24x_t%20%3D%20X_t%20-%20z_t%2C%20%5Cqquad%20%7Cz_t%7C%20%5Cle%20%5Cdelta.%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_band_figure()%3A%0A%20%20%20%20_theme%20%3D%20mo.app_meta().theme%0A%20%20%20%20_c%20%3D%20PALETTE%5B_theme%5D%0A%20%20%20%20_phi_bp%20%3D%2010.0%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(40)%0A%20%20%20%20_ref%20%3D%20np.concatenate((%5B0.0%5D%2C%20np.cumsum(_rng.normal(0.0%2C%201.2%2C%20599))))%0A%20%20%20%20_pool%20%3D%20np.zeros_like(_ref)%0A%20%20%20%20for%20_k%20in%20range(1%2C%20_ref.size)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_pool%5B_k%5D%20%3D%20min(max(_pool%5B_k%20-%201%5D%2C%20_ref%5B_k%5D%20-%20_phi_bp)%2C%20_ref%5B_k%5D%20%2B%20_phi_bp)%0A%20%20%20%20_t%20%3D%20np.arange(_ref.size)%0A%20%20%20%20_dx%20%3D%20np.diff(_pool)%0A%20%20%20%20_up%2C%20_down%20%3D%20float(_dx%5B_dx%20%3E%200%5D.sum())%2C%20float(abs(_dx%5B_dx%20%3C%200%5D.sum()))%0A%20%20%20%20_w%20%3D%2040%0A%20%20%20%20_i_rise%20%3D%20int(np.argmax(np.convolve(np.maximum(_dx%2C%200.0)%2C%20np.ones(_w)%2C%20%22valid%22)))%20%2B%20_w%20%2F%2F%202%0A%20%20%20%20_flat%20%3D%20(_dx%20%3D%3D%200.0).astype(int)%0A%20%20%20%20_best%2C%20_start%20%3D%20(0%2C%200)%2C%20None%0A%20%20%20%20for%20_k%2C%20_f%20in%20enumerate(_flat)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_f%20and%20_start%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_start%20%3D%20_k%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20(not%20_f%20or%20_k%20%3D%3D%20_flat.size%20-%201)%20and%20_start%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_end%20%3D%20_k%20%2B%201%20if%20_f%20else%20_k%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_end%20-%20_start%20%3E%20_best%5B1%5D%20-%20_best%5B0%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_best%20%3D%20(_start%2C%20_end)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_start%20%3D%20None%0A%20%20%20%20_i_flat%20%3D%20(_best%5B0%5D%20%2B%20_best%5B1%5D)%20%2F%2F%202%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20go.Figure(layout%3Dbase_layout(_theme%2C%20%22The%20band%3A%20the%20pool%20moves%20only%20while%20the%20reference%20presses%20an%20edge%22))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(x%3D_t%2C%20y%3D_pool%20%2B%20_phi_bp%2C%20line%3D%7B%22width%22%3A%200%7D%2C%20showlegend%3DFalse%2C%20hoverinfo%3D%22skip%22))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_t%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D_pool%20-%20_phi_bp%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22tonexty%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3D%22rgba(137%2C135%2C129%2C0.15)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3D%7B%22width%22%3A%200%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22band%20x%20%C2%B1%20%CF%86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hoverinfo%3D%22skip%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(x%3D_t%2C%20y%3D_ref%2C%20name%3D%22reference%20X%22%2C%20line%3D%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22s1%22%5D%2C%20%22width%22%3A%201.5%7D%2C%20hovertemplate%3D%22%25%7By%3A.1f%7D%20bp%22))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(x%3D_t%2C%20y%3D_pool%2C%20name%3D%22pool%20x%22%2C%20line%3D%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22s2%22%5D%2C%20%22width%22%3A%202.5%7D%2C%20hovertemplate%3D%22%25%7By%3A.1f%7D%20bp%22))%0A%20%20%20%20_fig.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_t%5B_i_rise%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D_pool%5B_i_rise%5D%20%2B%20_phi_bp%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%22reference%20presses%20the%20upper%20edge%3A%3Cbr%3Earbitrageur%20buys%20base%2C%20pool%20price%20follows%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowcolor%3D_c%5B%22muted%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax%3D-90%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ay%3D-60%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font%3D%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22ink%22%5D%2C%20%22size%22%3A%2011%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bgcolor%3D%22rgba(137%2C135%2C129%2C0.12)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_t%5B_i_flat%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D_pool%5B_i_flat%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%22reference%20inside%20the%20band%3A%3Cbr%3Eno%20trade%2C%20pool%20price%20stays%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20showarrow%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowcolor%3D_c%5B%22muted%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax%3D40%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ay%3D60%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font%3D%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22ink%22%5D%2C%20%22size%22%3A%2011%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bgcolor%3D%22rgba(137%2C135%2C129%2C0.12)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3D%7B%22title%22%3A%20%22time%20(schematic)%22%2C%20%22showticklabels%22%3A%20False%7D%2C%20yaxis%3D%7B%22title%22%3A%20%22log-price%20(bp%20from%20start)%22%7D%2C%20hovermode%3D%22x%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%CF%86%20%3D%20%7B_phi_bp%3A.0f%7D%20bp.%20Over%20this%20stretch%20the%20pool's%20log-price%20rose%20by%20%7B_up%3A.0f%7D%20bp%20in%20total%20and%20fell%20by%20%7B_down%3A.0f%7D%20bp%3A%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22its%20quote%20volume%20was%20%24L%20%5C%5Ctimes%20%7B_up%20%2B%20_down%3A.0f%7D%24%20bp%2C%20every%20unit%20of%20it%20traded%20at%20an%20edge%20of%20the%20band.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_band_animation()%3A%0A%20%20%20%20_theme%20%3D%20mo.app_meta().theme%0A%20%20%20%20_c%20%3D%20PALETTE%5B_theme%5D%0A%20%20%20%20_phi%2C%20_block%2C%20_per_frame%20%3D%2010.0%2C%2010%2C%202%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(48)%0A%20%20%20%20_eps%20%3D%20_rng.normal(0.0%2C%201.2%2C%20300)%0A%20%20%20%20_ref%20%3D%20np.concatenate((%5B0.0%5D%2C%20np.cumsum(_eps)))%0A%20%20%20%20_pool%20%3D%20np.zeros_like(_ref)%0A%20%20%20%20_moves%20%3D%20np.zeros_like(_ref)%0A%20%20%20%20for%20_k%20in%20range(1%2C%20_ref.size)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_pool%5B_k%5D%20%3D%20_pool%5B_k%20-%201%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_k%20%25%20_block%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_z%20%3D%20_ref%5B_k%5D%20-%20_pool%5B_k%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_z%20%3E%20_phi%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_moves%5B_k%5D%20%3D%20_z%20-%20_phi%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20_z%20%3C%20-_phi%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_moves%5B_k%5D%20%3D%20_z%20%2B%20_phi%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_pool%5B_k%5D%20%2B%3D%20_moves%5B_k%5D%0A%20%20%20%20_t%20%3D%20np.arange(_ref.size)%0A%20%20%20%20_fees%20%3D%20np.cumsum(np.abs(_moves))%20%2F%20_phi%20%20%23%20%CF%86%C2%B7TV%20per%20unit%20L%2C%20in%20units%20of%20%CF%86%C2%B2%0A%20%20%20%20_arb%20%3D%20np.cumsum(0.5%20*%20(_moves%20%2F%20_phi)%20**%202)%20%20%23%20%C2%BD%CE%A3(x)%20per%20unit%20L%2C%20in%20units%20of%20%CF%86%C2%B2%0A%20%20%20%20_outside%20%3D%20np.abs(_ref%20-%20_pool)%20%3E%20_phi%0A%20%20%20%20_y_lo%2C%20_y_hi%20%3D%20float(min(_ref.min()%2C%20_pool.min())%20-%2014)%2C%20float(max(_ref.max()%2C%20_pool.max())%20%2B%2024)%0A%20%20%20%20_y_top%20%3D%20_y_hi%20-%201.0%0A%0A%20%20%20%20def%20_status(k%3A%20int)%20-%3E%20str%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_moves%5Bk%5D%20!%3D%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22block%20%7Bk%20%2F%2F%20_block%7D%3A%20reference%20%7Babs(_moves%5Bk%5D)%3A.1f%7D%20bp%20outside%20the%20band%20%E2%80%94%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22arbitrageur%20trades%2C%20pool%20dragged%20%7Babs(_moves%5Bk%5D)%3A.1f%7D%20bp%20%7B'up'%20if%20_moves%5Bk%5D%20%3E%200%20else%20'down'%7D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_outside%5Bk%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20f%22step%20%7Bk%7D%3A%20reference%20%7Babs(_ref%5Bk%5D%20-%20_pool%5Bk%5D)%20-%20_phi%3A.1f%7D%20bp%20outside%20the%20band%20%E2%80%94%20no%20block%20yet%2C%20no%20trade%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20f%22step%20%7Bk%7D%3A%20reference%20inside%20the%20band%20%E2%80%94%20no%20trade%22%0A%0A%20%20%20%20def%20_data(k%3A%20int)%20-%3E%20list%5Bgo.Scatter%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_sl%20%3D%20slice(0%2C%20k%20%2B%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D_t%5B_sl%5D%2C%20y%3D_pool%5B_sl%5D%20%2B%20_phi%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20line%3D%7B%22width%22%3A%200%7D%2C%20showlegend%3DFalse%2C%20hoverinfo%3D%22skip%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_t%5B_sl%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D_pool%5B_sl%5D%20-%20_phi%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22lines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22tonexty%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3D%22rgba(137%2C135%2C129%2C0.15)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3D%7B%22width%22%3A%200%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22band%20x%20%C2%B1%20%CF%86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hoverinfo%3D%22skip%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D_t%5B_sl%5D%2C%20y%3D_ref%5B_sl%5D%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22reference%20X%22%2C%20line%3D%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22s1%22%5D%2C%20%22width%22%3A%201.5%7D%2C%20hoverinfo%3D%22skip%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D_t%5B_sl%5D%2C%20y%3D_pool%5B_sl%5D%2C%20mode%3D%22lines%22%2C%20name%3D%22pool%20x%22%2C%20line%3D%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22s2%22%5D%2C%20%22width%22%3A%202.5%7D%2C%20hoverinfo%3D%22skip%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B_t%5Bk%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B_ref%5Bk%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3D%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22color%22%3A%20_c%5B%22s1%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22size%22%3A%2013%20if%20_outside%5Bk%5D%20else%208%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22line%22%3A%20%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22ink%22%5D%2C%20%22width%22%3A%202%20if%20_outside%5Bk%5D%20else%200%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hoverinfo%3D%22skip%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D%5B_t%5Bk%5D%5D%2C%20y%3D%5B_pool%5Bk%5D%5D%2C%20mode%3D%22markers%22%2C%20marker%3D%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22s2%22%5D%2C%20%22size%22%3A%208%7D%2C%20showlegend%3DFalse%2C%20hoverinfo%3D%22skip%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B0.0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B_y_top%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22text%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20text%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7B_status(k)%7D%3Cbr%3E%3Cspan%20style%3D'color%3A%7B_c%5B'muted'%5D%7D'%3Efees%20so%20far%20%7B_fees%5Bk%5D%3A.1f%7D%20L%CF%86%C2%B2%20%C2%B7%20arbitrageur%20so%20far%20%7B_arb%5Bk%5D%3A.2f%7D%20L%CF%86%C2%B2%3C%2Fspan%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textposition%3D%22bottom%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textfont%3D%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22ink%22%5D%2C%20%22size%22%3A%2012%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hoverinfo%3D%22skip%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20_ks%20%3D%20list(range(0%2C%20_ref.size%2C%20_per_frame))%0A%20%20%20%20if%20_ks%5B-1%5D%20!%3D%20_ref.size%20-%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ks.append(_ref.size%20-%201)%0A%20%20%20%20_frames%20%3D%20%5Bgo.Frame(data%3D_data(_k)%2C%20name%3Dstr(_k))%20for%20_k%20in%20_ks%5D%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20go.Figure(data%3D_data(_ref.size%20-%201)%2C%20frames%3D_frames%2C%20layout%3Dbase_layout(_theme%2C%20%22%22))%0A%20%20%20%20_fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3D%7B%22title%22%3A%20f%22time%20%E2%80%94%20the%20arbitrageur%20looks%20every%20%7B_block%7D%20steps%22%2C%20%22range%22%3A%20%5B0%2C%20_ref.size%20-%201%5D%2C%20%22showticklabels%22%3A%20False%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3D%7B%22title%22%3A%20%22log-price%20(bp%20from%20start)%22%2C%20%22range%22%3A%20%5B_y_lo%2C%20_y_hi%5D%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3D%7B%22orientation%22%3A%20%22h%22%2C%20%22yanchor%22%3A%20%22top%22%2C%20%22y%22%3A%20-0.12%2C%20%22x%22%3A%200%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3D%7B%22l%22%3A%2060%2C%20%22r%22%3A%2040%2C%20%22t%22%3A%2050%2C%20%22b%22%3A%20130%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hovermode%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20updatemenus%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22type%22%3A%20%22buttons%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22showactive%22%3A%20False%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22x%22%3A%201.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22y%22%3A%201.18%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22xanchor%22%3A%20%22right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22yanchor%22%3A%20%22top%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22direction%22%3A%20%22left%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22pad%22%3A%20%7B%22r%22%3A%200%2C%20%22t%22%3A%200%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22bgcolor%22%3A%20%22rgba(137%2C135%2C129%2C0.15)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22font%22%3A%20%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22ink%22%5D%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22buttons%22%3A%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22label%22%3A%20%22%E2%96%B6%20replay%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22method%22%3A%20%22animate%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22args%22%3A%20%5BNone%2C%20%7B%22frame%22%3A%20%7B%22duration%22%3A%2050%2C%20%22redraw%22%3A%20False%7D%2C%20%22fromcurrent%22%3A%20False%2C%20%22transition%22%3A%20%7B%22duration%22%3A%200%7D%7D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22label%22%3A%20%22%E2%9D%9A%E2%9D%9A%20pause%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22method%22%3A%20%22animate%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22args%22%3A%20%5B%5BNone%5D%2C%20%7B%22frame%22%3A%20%7B%22duration%22%3A%200%2C%20%22redraw%22%3A%20False%7D%2C%20%22mode%22%3A%20%22immediate%22%2C%20%22transition%22%3A%20%7B%22duration%22%3A%200%7D%7D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sliders%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22x%22%3A%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22y%22%3A%20-0.32%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22len%22%3A%201.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22pad%22%3A%20%7B%22t%22%3A%200%2C%20%22b%22%3A%200%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22currentvalue%22%3A%20%7B%22visible%22%3A%20False%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22tickcolor%22%3A%20_c%5B%22muted%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22font%22%3A%20%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22muted%22%5D%2C%20%22size%22%3A%209%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22steps%22%3A%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22label%22%3A%20str(_k%20%2F%2F%20_block)%20if%20_k%20%25%20(5%20*%20_block)%20%3D%3D%200%20else%20%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22method%22%3A%20%22animate%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22args%22%3A%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bstr(_k)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22frame%22%3A%20%7B%22duration%22%3A%200%2C%20%22redraw%22%3A%20False%7D%2C%20%22mode%22%3A%20%22immediate%22%2C%20%22transition%22%3A%20%7B%22duration%22%3A%200%7D%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_k%20in%20_ks%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22**The%20same%20mechanism%2C%20one%20block%20at%20a%20time.**%20Here%20the%20arbitrageur%20looks%20only%20every%2010%20steps%2C%20so%20the%20reference%20can%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22leave%20the%20band%20before%20anyone%20acts%3B%20at%20the%20next%20block%20the%20pool%20is%20dragged%20until%20the%20reference%20sits%20on%20the%20band's%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22edge%20again.%20Press%20replay.%20The%20distance%20dragged%20is%20the%20volume%20(fee%20%24%5C%5Cphi%24%20on%20each%20unit)%3B%20the%20part%20of%20it%20beyond%20the%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22edge%20%E2%80%94%20the%20overshoot%20%E2%80%94%20is%20the%20half-slippage%20the%20arbitrageur%20keeps%2C%20%C2%A72's%20triangle.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_four_lines()%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%20four-line%20version%0A%0A%20%20%20%20Read%20off%20the%20figure%2C%20with%20%24P%20%3D%20e%5E%7BX%7D%24%20the%20reference%20price%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Price.**%20The%20pool%20trades%20only%20at%20an%20edge%20of%20the%20band%2C%20so%20every%20unit%20of%20quote%20it%20exchanges%20is%20exchanged%0A%20%20%20%20%20%20%24%5Cphi%24%20away%20from%20the%20reference%3A%20at%20the%20upper%20edge%20it%20sells%20base%20at%20%24P%20e%5E%7B-%5Cphi%7D%20%5Capprox%20P(1%20-%20%5Cphi)%24%2C%20at%20the%0A%20%20%20%20%20%20lower%20edge%20it%20buys%20base%20at%20%24%5Capprox%20P(1%20%2B%20%5Cphi)%24.%20Marked%20at%20the%20reference%2C%20that%20is%20a%20loss%20of%20%24%5Cphi%24%20per%20unit%0A%20%20%20%20%20%20of%20quote%20volume.%0A%20%20%20%20-%20**Fee.**%20%24%5Cphi%24%20of%20the%20quote%20leg%3A%20%24%5Cphi%24%20per%20unit%20of%20quote%20volume.%20Net%20per%20unit%3A%20%240%24.%20The%20arbitrageur%20hands%0A%20%20%20%20%20%20the%20LP%2C%20as%20fee%2C%20the%20discount%20they%20get%20against%20the%20reference.%0A%20%20%20%20-%20**Volume.**%20The%20invariant%20charges%20%24L%5C%2Cdx%24%20of%20quote%20to%20move%20the%20log-price%20by%20%24dx%24%2C%20so%20quote%20volume%20is%20%24L%24%0A%20%20%20%20%20%20times%20the%20distance%20the%20pool's%20log-price%20travels%20%E2%80%94%20the%20staircase%20in%20the%20figure%2C%20rises%20plus%20falls.%20The%20pool%0A%20%20%20%20%20%20travels%20only%20as%20far%20as%20the%20reference%20pushes%20it%20at%20the%20edges%3B%20a%20Brownian%20motion%20of%20volatility%20%24%5Csigma%24%0A%20%20%20%20%20%20bouncing%20in%20a%20band%20of%20width%20%242%5Cphi%24%20pushes%20each%20edge%20at%20a%20rate%20of%20%24%5Csigma%5E2%2F(4%5Cphi)%24%20a%20year%20(%C2%A74)%2C%20so%20the%0A%20%20%20%20%20%20distance%20is%20%24%5Csigma%5E2%2F(2%5Cphi)%24%20and%20the%20volume%20is%20%24L%5Csigma%5E2%2F(2%5Cphi)%24.%20Halve%20the%20fee%2C%20double%20the%20volume.%0A%20%20%20%20-%20**Fees.**%20%24%5Cphi%20%5Ctimes%20L%5Csigma%5E2%2F(2%5Cphi)%20%3D%20%5Ctfrac12%5Csigma%5E2%20L%24%20a%20year%2C%20whatever%20%24%5Cphi%24%3A%20a%20lower%20fee%20is%20repaid%20by%0A%20%20%20%20%20%20more%20volume%2C%20to%20the%20unit.%20%24%5Ctfrac12%5Csigma%5E2%20L%24%20is%20the%20LVR%20of%20the%20log%20invariant%20%E2%80%94%20which%2C%20by%20the%20first%20line%2C%0A%20%20%20%20%20%20is%20a%20loss%20of%20%24%5Cphi%24%20on%20every%20unit%20of%20that%20same%20volume.%0A%0A%20%20%20%20**Fees%20are%20the%20variance%20whenever%20the%20pool%20is%20arbitraged%20continuously.**%20The%20arbitrageur%20takes%20nothing%3A%0A%20%20%20%20on%20each%20trade%20they%20capture%20the%20half-slippage%20beyond%20the%20fee%2C%20%24%5Ctfrac12%20L%20d%5E2%24%2C%20which%20is%20second%20order%20and%0A%20%20%20%20vanishes%20as%20trades%20become%20infinitesimal.%20When%20arbitrage%20is%20discrete%20%E2%80%94%20one%20look%20per%20block%20%E2%80%94%20the%20gap%0A%20%20%20%20overshoots%20%24%5Cphi%24%20before%20the%20trade%20and%20the%20overshoot's%20half-slippage%20is%20theirs%3B%20%C2%A72%E2%80%93%C2%A74%20measure%20it.%0A%0A%20%20%20%20The%20same%20four%20lines%20hold%20for%20any%20constant-function%20market%20maker%20with%20%24%5Clambda(p)%20%3D%20p%5E2%7CV''(p)%7C%24%2C%20the%20quote%0A%20%20%20%20volume%20per%20unit%20of%20log-price%20move%2C%20in%20place%20of%20%24L%24.%20With%20the%20log%20invariant%20%24%5Clambda%24%20is%20the%20constant%20%24L%24%2C%20so%0A%20%20%20%20the%20cancellation%20is%20exact%20at%20every%20price%3B%20on%20%24xy%20%3D%20k%24%20it%20is%20%24%5Ctfrac12%5Csqrt%7Bkp%7D%24%20and%20drifts%20with%20%24%5Csqrt%20p%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_one_trade_intro()%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20One%20trade%2C%20in%20one%20picture%0A%0A%20%20%20%20The%20arbitrageur%20buys%20from%20a%20pool%20whose%20price%20rises%20as%20they%20buy%20%E2%80%94%20by%20%24dx%20%3D%20dQ%2FL%24%20per%20unit%20of%20quote%20%E2%80%94%20while%0A%20%20%20%20the%20reference%20stays%20put.%20Everything%20each%20party%20books%20is%20an%20area%20in%20the%20figure%20below%2C%20in%20units%20of%20%24L%5Cphi%5E2%24%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**LP's%20loss%2C%20marked%20at%20the%20reference**%3A%20the%20area%20between%20the%20reference%20and%20the%20pool's%20marginal%20price.%20The%0A%20%20%20%20%20%20pool%20sells%20every%20unit%20below%20the%20reference%2C%20by%20less%20and%20less%20as%20its%20price%20climbs.%0A%20%20%20%20-%20**Fee**%3A%20the%20strip%20of%20height%20%24%5Cphi%24%20on%20top%20of%20the%20marginal%20price%20%E2%80%94%20the%20arbitrageur%20pays%20marginal%20plus%20%24%5Cphi%24.%0A%20%20%20%20-%20**Arbitrageur's%20profit**%3A%20what%20is%20left%20between%20the%20price%20they%20pay%20and%20the%20reference.%20It%20changes%20sign%20where%0A%20%20%20%20%20%20marginal%20%24%2B%5C%2C%5Cphi%24%20crosses%20the%20reference%2C%20%24%5Cphi%24%20short%20of%20it%3A%20past%20that%20point%20each%20unit%20costs%20the%0A%20%20%20%20%20%20arbitrageur%20more%20than%20the%20reference%20pays%20for%20it.%0A%0A%20%20%20%20So%20the%20optimal%20trade%20stops%20%24%5Cphi%24%20short%20of%20the%20reference%20whatever%20the%20gap%20%E2%80%94%20the%20%24d%5E%5Cstar%20%3D%20m%20-%20%5Cphi%24%20of%20%C2%A71.%0A%20%20%20%20Closing%20the%20whole%20gap%20adds%20the%20loss%20triangle.%20At%20a%20gap%20of%20%242%5Cphi%24%20the%20two%20triangles%20are%20equal%20and%20the%0A%20%20%20%20arbitrageur%20nets%20zero%3B%20below%20%242%5Cphi%24%20a%20full%20close%20loses%20money%3B%20above%20it%2C%20it%20earns%20less%20than%20stopping%20short.%0A%20%20%20%20A%20%242%5Cphi%24%20gap%20is%20no%20base%20case%2C%20only%20the%20break-even%20of%20the%20wrong%20policy.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_trade_controls()%3A%0A%20%20%20%20gap_ui%20%3D%20mo.ui.slider(1.1%2C%204.0%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D2.0%2C%20label%3D%22gap%20m%20between%20reference%20and%20pool%2C%20in%20units%20of%20%CF%86%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20gap_ui%0A%20%20%20%20return%20(gap_ui%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_trade_figure(gap_ui)%3A%0A%20%20%20%20_theme%20%3D%20mo.app_meta().theme%0A%20%20%20%20_c%20%3D%20PALETTE%5B_theme%5D%0A%20%20%20%20_m%20%3D%20float(gap_ui.value)%0A%20%20%20%20_d_star%20%3D%20_m%20-%201.0%0A%0A%20%20%20%20def%20_rgba(hex_color%3A%20str%2C%20alpha%3A%20float)%20-%3E%20str%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%2C%20g%2C%20b%20%3D%20(int(hex_color%5Bi%20%3A%20i%20%2B%202%5D%2C%2016)%20for%20i%20in%20(1%2C%203%2C%205))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20f%22rgba(%7Br%7D%2C%7Bg%7D%2C%7Bb%7D%2C%7Balpha%7D)%22%0A%0A%20%20%20%20def%20_fill(x%3A%20np.ndarray%2C%20lo%3A%20np.ndarray%2C%20hi%3A%20np.ndarray%2C%20color%3A%20str%2C%20name%3A%20str)%20-%3E%20list%5Bgo.Scatter%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3Dx%2C%20y%3Dlo%2C%20line%3D%7B%22width%22%3A%200%7D%2C%20showlegend%3DFalse%2C%20hoverinfo%3D%22skip%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3Dx%2C%20y%3Dhi%2C%20fill%3D%22tonexty%22%2C%20fillcolor%3Dcolor%2C%20line%3D%7B%22width%22%3A%200%7D%2C%20name%3Dname%2C%20hoverinfo%3D%22skip%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20_u%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%20_m%2C%20121)%0A%20%20%20%20_u1%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%20_d_star%2C%2061)%0A%20%20%20%20_u2%20%3D%20np.linspace(_d_star%2C%20_m%2C%2061)%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20go.Figure(layout%3Dbase_layout(_theme%2C%20%22One%20trade%3A%20what%20each%20party%20books%20is%20an%20area%22))%0A%20%20%20%20for%20_tr%20in%20_fill(_u%2C%20_u%2C%20_u%20%2B%201.0%2C%20_rgba(_c%5B%22s3%22%5D%2C%200.35)%2C%20%22fee%3A%20%CF%86%20per%20unit%20of%20volume%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_trace(_tr)%0A%20%20%20%20for%20_tr%20in%20_fill(_u1%2C%20_u1%20%2B%201.0%2C%20np.full_like(_u1%2C%20_m)%2C%20_rgba(_c%5B%22s1%22%5D%2C%200.35)%2C%20%22arbitrageur's%20profit%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_trace(_tr)%0A%20%20%20%20for%20_tr%20in%20_fill(_u2%2C%20np.full_like(_u2%2C%20_m)%2C%20_u2%20%2B%201.0%2C%20_rgba(_c%5B%22s2%22%5D%2C%200.35)%2C%20%22arbitrageur's%20loss%20past%20the%20optimum%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_trace(_tr)%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D%5B0.0%2C%20_m%5D%2C%20y%3D%5B_m%2C%20_m%5D%2C%20name%3D%22reference%22%2C%20line%3D%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22muted%22%5D%2C%20%22width%22%3A%201.5%2C%20%22dash%22%3A%20%22dash%22%7D%2C%20hoverinfo%3D%22skip%22)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(x%3D_u%2C%20y%3D_u%2C%20name%3D%22pool's%20marginal%20price%22%2C%20line%3D%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22s2%22%5D%2C%20%22width%22%3A%202%7D%2C%20hoverinfo%3D%22skip%22))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(x%3D_u%2C%20y%3D_u%20%2B%201.0%2C%20name%3D%22price%20paid%3A%20marginal%20%2B%20%CF%86%22%2C%20line%3D%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22s3%22%5D%2C%20%22width%22%3A%202%7D%2C%20hoverinfo%3D%22skip%22))%0A%20%20%20%20for%20_x%2C%20_label%2C%20_ay%20in%20((_d_star%2C%20%22stop%20%CF%86%20short%3A%20d*%20%3D%20m%20%E2%88%92%20%CF%86%22%2C%20-30)%2C%20(_m%2C%20%22close%20the%20whole%20gap%22%2C%20-60))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5B_x%2C%20_x%5D%2C%20y%3D%5B0.0%2C%20_m%20%2B%201.0%5D%2C%20showlegend%3DFalse%2C%20hoverinfo%3D%22skip%22%2C%20line%3D%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22muted%22%5D%2C%20%22width%22%3A%201%2C%20%22dash%22%3A%20%22dot%22%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_x%2C%20y%3D_m%20%2B%201.0%2C%20text%3D_label%2C%20showarrow%3DFalse%2C%20yshift%3D12%2C%20xanchor%3D%22center%22%2C%20font%3D%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22muted%22%5D%2C%20%22size%22%3A%2011%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3D%7B%22title%22%3A%20%22volume%20traded%2C%20in%20units%20of%20L%CF%86%20%20(%3D%20log-price%20moved%2C%20in%20units%20of%20%CF%86)%22%2C%20%22range%22%3A%20%5B0%2C%20_m%20%2B%200.3%5D%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3D%7B%22title%22%3A%20%22log-price%20above%20the%20pool's%20start%2C%20in%20units%20of%20%CF%86%22%2C%20%22range%22%3A%20%5B0%2C%20_m%20%2B%201.6%5D%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hovermode%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20height%3D500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20legend%3D%7B%22orientation%22%3A%20%22h%22%2C%20%22yanchor%22%3A%20%22top%22%2C%20%22y%22%3A%20-0.18%2C%20%22x%22%3A%200%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20margin%3D%7B%22l%22%3A%2060%2C%20%22r%22%3A%2040%2C%20%22t%22%3A%2060%2C%20%22b%22%3A%20110%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_trade_table(gap_ui)%3A%0A%20%20%20%20_m%20%3D%20float(gap_ui.value)%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_label%2C%20_d%20in%20((%22stop%20%CF%86%20short%2C%20d%20%3D%20m%20%E2%88%92%20%CF%86%22%2C%20_m%20-%201.0)%2C%20(%22close%20the%20whole%20gap%2C%20d%20%3D%20m%22%2C%20_m))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_loss%20%3D%20_d%20*%20(_m%20-%20_d%20%2F%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(f%22%7C%20%7B_label%7D%20%7C%20%7B_d%3A.2f%7D%20%7C%20%7B_loss%3A.2f%7D%20%7C%20%7B_d%3A.2f%7D%20%7C%20%7B_loss%20-%20_d%3A%2B.2f%7D%20%7C%22)%0A%20%20%20%20_table%20%3D%20%22%5Cn%22.join(_rows)%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20At%20%24m%20%3D%20%7B_m%3A.1f%7D%5C%5C%2C%5C%5Cphi%24%2C%20per%20unit%20%24L%24%3B%20volume%20in%20units%20of%20%24%5C%5Cphi%24%2C%20money%20in%20units%20of%20%24%5C%5Cphi%5E2%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20policy%20%7C%20volume%20%24d%24%20%7C%20LP's%20loss%20%24d%5C%5C%2C(m%20-%20d%2F2)%24%20%7C%20fee%20%24%5C%5Cphi%5C%5C%2Cd%24%20%7C%20arbitrageur%20%24d%5C%5C%2C(m%20-%20d%2F2%20-%20%5C%5Cphi)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7B_table%7D%0A%0A%20%20%20%20On%20every%20trade%20**LP's%20loss%20%3D%20fee%20%2B%20arbitrageur's%20profit**%2C%20whichever%20policy.%20In%20symbols%2C%20with%20%24r%20%3D%20m%20-%20d%24%20the%0A%20%20%20%20residual%20and%20%24%5C%5Cbar%20z%20%3D%20%5C%5Ctfrac12(m%20%2B%20r)%20%3D%20m%20-%20d%2F2%24%20the%20mispricing%20at%20the%20trade's%20midpoint%3A%20volume%20%24d%24%2C%20fee%0A%20%20%20%20%24%5C%5Cphi%20d%24%2C%20LP's%20loss%20%24d%5C%5C%2C%5C%5Cbar%20z%24%2C%20arbitrageur%20%24d%5C%5C%2C(%5C%5Cbar%20z%20-%20%5C%5Cphi)%24.%20A%20trade%20with%20%24%5C%5Cbar%20z%20%3C%20%5C%5Cphi%24%20%E2%80%94%20a%20taker%20with%0A%20%20%20%20no%20reference%20view%2C%20routed%20or%20retail%20flow%20%E2%80%94%20pays%20the%20fee%20at%20a%20mispricing%20below%20it%3A%20its%20%22profit%22%20is%20negative%0A%20%20%20%20and%20the%20fee%20exceeds%20the%20LP's%20loss.%20That%20is%20the%20only%20flow%20on%20which%20the%20LP's%20edge%20is%20positive.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_identity()%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20The%20identity%0A%0A%20%20%20%20Sum%20the%20table%20over%20the%20trades%20in%20%24%5B0%2C%20T%5D%24.%20The%20LP's%20loss%20is%20fixed%20by%20the%20reference%20alone%3A%20apply%20It%C3%B4%20to%0A%20%20%20%20%24%5Ctfrac12%20z%5E2%24%2C%20where%20the%20mispricing%20%24z%20%3D%20X%20-%20x%24%20diffuses%20with%20the%20reference%20between%20trades%20and%20drops%20from%0A%20%20%20%20%24m%24%20to%20%24r%24%20at%20each%20one%2C%20%24%5Ctfrac12(m%5E2%20-%20r%5E2)%20%3D%20d%5C%2C%5Cbar%20z%24.%20With%20%24M_T%20%3D%20%5Cint%20z%5C%2CdX%24%20a%20martingale%20and%20%24z%24%0A%20%20%20%20bounded%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Csum_%7B%5Ctext%7Btrades%7D%7D%20d%5C%2C%5Cbar%20z%20%3D%20%5Ctfrac12%5CSigma(X)%20%2B%20M_T%20%2B%20O(%5Cphi%5E2)%2C%20%5Cqquad%20%5CSigma(X)%20%3D%20%5Cint%20(dX)%5E2%20%5Cto%20%5Csigma%5E2%20T%2C%24%24%0A%0A%20%20%20%20whatever%20the%20arbitrageur's%20policy.%20Splitting%20the%20left%20side%20by%20the%20table%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Cunderbrace%7B%5Cphi%5C%2C%5Cmathrm%7BTV%7D(x)%7D_%7B%5Ctext%7Bfees%20%7D%20F%7D%20%2B%20%5Cunderbrace%7B%5Ctextstyle%5Csum%20d%5C%2C(%5Cbar%20z%20-%20%5Cphi)%7D_%7B%5Ctext%7Barbitrageur's%20profit%7D%7D%20%3D%20%5Cunderbrace%7B%5Ctfrac12%5CSigma(X)%7D_%7B%5Ctext%7BLVR%7D%7D%20%2B%20M_T%20%2B%20O(%5Cphi%5E2)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20For%20the%20optimal%20policy%20%24%5Cbar%20z%20-%20%5Cphi%20%3D%20%5Ctfrac12%20d%24%2C%20so%20the%20arbitrageur's%20profit%20is%20%24%5Ctfrac12%5Csum%20d%5E2%20%3D%20%5Ctfrac12%5CSigma(x)%24%2C%0A%20%20%20%20the%20quadratic%20variation%20of%20the%20**pool's%20own**%20path%3B%20the%20identity%20reads%20%24%5Cphi%5C%2C%5Cmathrm%7BTV%7D(x)%20%2B%20%5Ctfrac12%5CSigma(x)%20%3D%20%5Ctfrac12%5CSigma(X)%20%2B%20M_T%24.%0A%20%20%20%20Reading%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**The%20reference's%20realised%20variance%20is%20the%20pie.**%20Per%20unit%20%24L%24%20it%20is%20the%20LVR%2C%20%24%5Ctfrac12%5Csigma%5E2%20T%24%20%E2%80%94%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20classical%20loss-versus-rebalancing%20rate%20%24%5Ctfrac12%5Csigma%5E2%20p%5E2%7CV''(p)%7C%24%2C%20which%20the%20log%20invariant%20makes%0A%20%20%20%20%20%20%20%24%5Ctfrac12%5Csigma%5E2%20L%24%20at%20every%20price.%20The%20fee%20does%20not%20add%20to%20it%3B%20the%20fee%20decides%20how%20it%20is%20cut%20between%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20LP%20(a%20toll%20on%20path%20length%2C%20first%20order%20in%20the%20move)%20and%20the%20arbitrageur%20(second%20order).%0A%20%20%20%202.%20**Fees%20from%20arbitrage%20never%20exceed%20LVR.**%20A%20rational%20arbitrageur%20only%20trades%20when%20%24%5Cbar%20z%20%5Cge%20%5Cphi%24%2C%20so%0A%20%20%20%20%20%20%20%24F%20%5Cle%20%5Ctfrac12%5CSigma(X)%24%20up%20to%20the%20martingale%2C%20at%20any%20%24%5Cphi%24%2C%20any%20%24%5CDelta%20t%24.%20Equality%20is%20%C2%A71's%20four%20lines%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20the%20continuous%20limit%20of%20the%20optimal%20policy%3A%20trades%20become%20infinitesimal%2C%20%24%5Csum%20d%5E2%20%5Cto%200%24%20while%0A%20%20%20%20%20%20%20%24%5Csum%20d%24%20does%20not%2C%20and%20the%20arbitrageur's%20profit%20vanishes.%0A%20%20%20%203.%20**Against%20continuous%20rebalancing%20the%20LP's%20edge%20is%20minus%20the%20arbitrageur's%20profit.**%20LP%20wealth%20at%20%24T%24%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20marked%20at%20the%20reference%2C%20is%20%24L(x_T%20-%20x_%7B%5Cmin%7D)%20%2B%20L%20e%5E%7Bz_T%7D%20%2B%20F%20L%24%3B%20the%20rebalancing%20portfolio%20holds%0A%20%20%20%20%20%20%20%24L(X_T%20-%20x_%7B%5Cmin%7D)%20%2B%20L%20%2B%20%5Ctfrac12%5Csigma%5E2%20L%20T%24.%20The%20difference%20is%20%24F%20L%20-%20%5Ctfrac12%5CSigma(X)%20L%20%2B%20O(%5Cphi%5E2%20L)%24%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20and%20by%20the%20identity%20that%20is%20the%20arbitrageur's%20profit%20with%20a%20minus%20sign.%20Arbitrage%20is%20zero-sum%20against%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20reference%20price%2C%20so%20this%20had%20to%20hold%3B%20the%20identity%20says%20how%20large%20the%20transfer%20is.%0A%20%20%20%204.%20**The%20on-chain%20readout%20%24F%20-%20%5Ctfrac12%5CSigma%24**%2C%20the%20LP%20edge%20the%20pool's%20two%20accumulators%20expose%2C%20subtracts%0A%20%20%20%20%20%20%20the%20pool's%20own%20%24%5CSigma(x)%24.%20It%20equals%20the%20edge%20against%20rebalancing%20when%20%24%5CSigma(x)%20%5Capprox%20%5CSigma(X)%24%2C%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20small-fee%20regime%20where%20the%20pool%20tracks%20the%20reference%20step%20for%20step.%20In%20the%20band%20regime%20%24%5CSigma(x)%20%5Cto%200%24%0A%20%20%20%20%20%20%20and%20the%20readout%20returns%20%24F%24%20itself.%20Section%206%20checks%20this%20against%20an%20earlier%20simulation%20harness.%0A%20%20%20%205.%20**External%20friction.**%20A%20taker%20fee%20or%20amortised%20gas%20%24%5Cphi_%7B%5Cmathrm%7Bext%7D%7D%24%20on%20the%20reference%20leg%20enters%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20arbitrageur's%20row%20as%20%24%5Cbar%20z%20-%20%5Cphi%20-%20%5Cphi_%7B%5Cmathrm%7Bext%7D%7D%24%3A%20the%20stop%20moves%20to%20%24%5Cdelta%20%3D%20%5Cphi%20%2B%20%5Cphi_%7B%5Cmathrm%7Bext%7D%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20and%20the%20LP%20collects%20%24%5Cphi%2F%5Cdelta%24%20of%20the%20first-order%20term%3B%20the%20reference%20venue%20collects%20the%20rest.%0A%20%20%20%206.%20**What%20the%20four%20lines%20leave%20out**%20is%20the%20arbitrageur%20who%20arrives%20late%3A%20with%20a%20block%20time%0A%20%20%20%20%20%20%20%24%5CDelta%20t%24%20the%20gap%20overshoots%20the%20band%20and%20the%20overshoot's%20second-order%20term%20is%20theirs.%20The%20rest%20of%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20note%20is%20the%20size%20of%20that%20term.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_coverage_intro()%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%204.%20The%20split%20depends%20on%20one%20number%0A%0A%20%20%20%20Scale%20the%20block%20by%20its%20own%20move%2C%20%24s%20%3D%20%5Csigma%5Csqrt%7B%5CDelta%20t%7D%24.%20The%20mispricing%20is%20then%20a%20unit-step%20random%20walk%0A%20%20%20%20truncated%20to%20%24%5B-u%2C%20u%5D%24%20with%0A%0A%20%20%20%20%24%24u%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cphi%7D%7B%5Csigma%5Csqrt%7B%5CDelta%20t%7D%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20Take%20the%20stationary%20expectation%20of%20the%20identity%20per%20block%2C%20optimal%20policy%3A%20%242u%5C%2C%5Cmathbb%7BE%7D%5Bd%5D%20%2B%20%5Cmathbb%7BE%7D%5Bd%5E2%5D%20%3D%201%24.%20Define%20the%0A%20%20%20%20**coverage**%20%24%5Cmathcal%7BC%7D(u)%20%3D%202u%5C%2C%5Cmathbb%7BE%7D%5Bd%5D%20%3D%20F%20%2F%20%5Ctfrac12%5CSigma(X)%24%2C%20the%20LP's%20share%3B%20the%20arbitrageur's%0A%20%20%20%20share%20is%20%241%20-%20%5Cmathcal%7BC%7D(u)%24.%0A%0A%20%20%20%20-%20%24u%20%5Cto%200%24%20(fee%20far%20below%20one%20block's%20move)%3A%20%24%5Cmathbb%7BE%7D%5Bd%5D%20%5Cto%20%5Csqrt%7B2%2F%5Cpi%7D%24%2C%20so%0A%20%20%20%20%20%20%24%5Cmathcal%7BC%7D(u)%20%5Capprox%20u%5Csqrt%7B8%2F%5Cpi%7D%20%3D%20u%2F%5Ckappa%5E%5Cstar%24%20with%20%24%5Ckappa%5E%5Cstar%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cpi%2F8%7D%20%5Capprox%200.627%24.%0A%20%20%20%20%20%20This%20is%20the%20arbitrage-every-block%20model%3A%20fees%20of%20%24%5Cphi%5Csigma%5Csqrt%7B%5CDelta%20t%7D%5Csqrt%7B2%2F%5Cpi%7D%24%20per%20block%20against%20an%0A%20%20%20%20%20%20LVR%20of%20%24%5Ctfrac12%5Csigma%5E2%5CDelta%20t%24%2C%20equal%20at%20%24%5Cphi%5E%5Cstar%20%3D%20%5Ckappa%5E%5Cstar%5Csigma%5Csqrt%7B%5CDelta%20t%7D%24.%20That%20fee%20is%20where%0A%20%20%20%20%20%20the%20asymptote%20reaches%201%3B%20the%20curve%20itself%20is%20below%20the%20asymptote%20at%20every%20%24u%24.%0A%20%20%20%20-%20%24u%20%5Cto%20%5Cinfty%24%20(fee%20far%20above%20one%20block's%20move)%3A%20%24z%24%20is%20a%20doubly%20reflected%20Brownian%20motion%20on%0A%20%20%20%20%20%20%24%5B-%5Cphi%2C%20%5Cphi%5D%24.%20It%C3%B4%20on%20%24z%5E2%24%20with%20the%20uniform%20stationary%20law%20gives%20each%20boundary%20local%20time%20a%20rate%20of%0A%20%20%20%20%20%20%24%5Csigma%5E2%2F(4%5Cphi)%24%2C%20so%20%24%5Cmathrm%7BTV%7D(x)%2FT%20%5Cto%20%5Csigma%5E2%2F(2%5Cphi)%24%20and%20%24%5Cmathcal%7BC%7D%20%5Cto%201%24.%20The%20pool's%20path%0A%20%20%20%20%20%20has%20zero%20quadratic%20variation%3A%20the%20arbitrageur's%20profit%20vanishes%20and%20the%20LP%20collects%20the%20LVR%20as%20fees%20while%0A%20%20%20%20%20%20giving%20away%20the%20same%20amount%20through%20stale%20prices.%0A%0A%20%20%20%20The%20curve%20below%20is%20the%20stationary%20distribution%20of%20the%20truncated%20walk%2C%20solved%20on%20a%20Markov%20chain%20with%20atoms%0A%20%20%20%20at%20%24%5Cpm%20u%24%20(%60band_split%60).%20The%20Monte%20Carlo%20of%20section%206%20lands%20on%20it.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_coverage_curve()%3A%0A%20%20%20%20u_grid%20%3D%20np.geomspace(0.02%2C%2030.0%2C%2060)%0A%20%20%20%20_splits%20%3D%20np.array(%5Bband_split(float(_u))%20for%20_u%20in%20u_grid%5D)%0A%20%20%20%20fee_share%2C%20arb_share%20%3D%20_splits%5B%3A%2C%200%5D%2C%20_splits%5B%3A%2C%201%5D%0A%20%20%20%20identity_residual%20%3D%20float(np.max(np.abs(fee_share%20%2B%20arb_share%20-%201.0)))%0A%20%20%20%20return%20arb_share%2C%20fee_share%2C%20identity_residual%2C%20u_grid%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_coverage_figure(arb_share%2C%20fee_share%2C%20u_grid)%3A%0A%20%20%20%20_theme%20%3D%20mo.app_meta().theme%0A%20%20%20%20_c%20%3D%20PALETTE%5B_theme%5D%0A%20%20%20%20_asym%20%3D%20np.minimum(u_grid%20%2F%20KAPPA_STAR%2C%201.15)%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20go.Figure(layout%3Dbase_layout(_theme%2C%20%22Split%20of%20the%20reference%20variance%20between%20LP%20fees%20and%20arbitrage%20profit%22))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(x%3Du_grid%2C%20y%3Dfee_share%2C%20name%3D%22LP%3A%20fees%20F%22%2C%20line%3D%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22s1%22%5D%2C%20%22width%22%3A%202%7D%2C%20hovertemplate%3D%22%25%7By%3A.3f%7D%22))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3Du_grid%2C%20y%3Darb_share%2C%20name%3D%22Arbitrageur%3A%20%C2%BD%CE%A3(x)%22%2C%20line%3D%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22s2%22%5D%2C%20%22width%22%3A%202%7D%2C%20hovertemplate%3D%22%25%7By%3A.3f%7D%22)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Du_grid%2C%20y%3D_asym%2C%20name%3D%22asymptote%20u%20%2F%20%CE%BA*%22%2C%20line%3D%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22muted%22%5D%2C%20%22width%22%3A%201.5%2C%20%22dash%22%3A%20%22dash%22%7D%2C%20hovertemplate%3D%22%25%7By%3A.3f%7D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%5BKAPPA_STAR%2C%20KAPPA_STAR%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%5B0%2C%201.15%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20showlegend%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hoverinfo%3D%22skip%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3D%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22muted%22%5D%2C%20%22width%22%3A%201%2C%20%22dash%22%3A%20%22dot%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig.add_annotation(x%3Dmath.log10(KAPPA_STAR)%2C%20y%3D1.1%2C%20text%3D%22u%20%3D%20%CE%BA*%20%20(%CF%86%20%3D%20%CF%86*)%22%2C%20showarrow%3DFalse%2C%20font%3D%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22muted%22%5D%2C%20%22size%22%3A%2011%7D)%0A%20%20%20%20for%20_name%2C%20_y_end%2C%20_col%20in%20((%22LP%22%2C%20fee_share%5B-1%5D%2C%20_c%5B%22s1%22%5D)%2C%20(%22arb%22%2C%20arb_share%5B-1%5D%2C%20_c%5B%22s2%22%5D))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_annotation(x%3Dmath.log10(u_grid%5B-1%5D)%2C%20y%3D_y_end%2C%20text%3D_name%2C%20showarrow%3DFalse%2C%20xanchor%3D%22left%22%2C%20xshift%3D6%2C%20font%3D%7B%22color%22%3A%20_col%7D)%0A%20%20%20%20_fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3D%7B%22type%22%3A%20%22log%22%2C%20%22title%22%3A%20%22u%20%3D%20%CF%86%20%2F%20(%CF%83%20%E2%88%9A%CE%94t)%22%2C%20%22tickvals%22%3A%20%5B0.02%2C%200.05%2C%200.1%2C%200.2%2C%200.5%2C%201%2C%202%2C%205%2C%2010%2C%2020%5D%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3D%7B%22title%22%3A%20%22share%20of%20LVR%20%20%C2%BD%CE%A3(X)%22%2C%20%22range%22%3A%20%5B0%2C%201.15%5D%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_coverage_table(fee_share%2C%20identity_residual%2C%20u_grid)%3A%0A%20%20%20%20_approx%20%3D%20u_grid%20%2F%20(u_grid%20%2B%20SIEGMUND)%0A%20%20%20%20_err_hi%20%3D%20float(np.max(np.abs(_approx%20%2F%20fee_share%20-%201.0)%5Bu_grid%20%3E%3D%200.5%5D))%0A%20%20%20%20_err_lo%20%3D%20float(np.abs(_approx%5B0%5D%20%2F%20fee_share%5B0%5D%20-%201.0))%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_u%20in%20(0.1%2C%200.3%2C%20KAPPA_STAR%2C%201.0%2C%202.0%2C%205.0%2C%2010.0%2C%2020.0)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fs%2C%20_%20%3D%20band_split(_u)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(f%22%7C%20%7B_u%3A.3g%7D%20%7C%20%7B_fs%3A.3f%7D%20%7C%20%7B1%20-%20_fs%3A.3f%7D%20%7C%20%7Bmin(_u%20%2F%20KAPPA_STAR%2C%209.99)%3A.3f%7D%20%7C%22)%0A%20%20%20%20_table%20%3D%20%22%5Cn%22.join(_rows)%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%7C%20%24u%24%20%7C%20%24%5C%5Cmathcal%7B%7BC%7D%7D(u)%24%20%E2%80%94%20LP%20%7C%20%241-%5C%5Cmathcal%7B%7BC%7D%7D%24%20%E2%80%94%20arbitrageur%20%7C%20asymptote%20%24u%2F%5C%5Ckappa%5E%5C%5Cstar%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7B_table%7D%0A%0A%20%20%20%20At%20%24u%20%3D%20%5C%5Ckappa%5E%5C%5Cstar%24%2C%20where%20the%20every-block%20asymptote%20says%20fees%20equal%20LVR%2C%20the%20LP%20collects%0A%20%20%20%20%7Bband_split(KAPPA_STAR)%5B0%5D%3A.0%25%7D%20of%20it.%20The%20two%20shares%2C%20computed%20independently%2C%20sum%20to%201%20within%0A%20%20%20%20%7Bidentity_residual%3A.1e%7D%20across%20the%20grid.%0A%0A%20%20%20%20**Closed%20form.**%20Monitoring%20a%20reflected%20walk%20at%20discrete%20times%20moves%20each%20barrier%20outward%20by%20the%20mean%0A%20%20%20%20overshoot%2C%20Siegmund's%20constant%20%24%5C%5Cbeta%20%3D%20-%5C%5Czeta(%5C%5Ctfrac12)%2F%5C%5Csqrt%7B%7B2%5C%5Cpi%7D%7D%20%3D%20%7BSIEGMUND%7D%24%20(the%20continuity%0A%20%20%20%20correction%20of%20Broadie%2C%20Glasserman%20and%20Kou).%20Put%20into%20the%20band%20limit%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5C%5Cmathcal%7B%7BC%7D%7D(u)%20%5C%5Capprox%20%5C%5Cfrac%7B%7Bu%7D%7D%7B%7Bu%20%2B%20%5C%5Cbeta%7D%7D%2C%20%5C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%5C%5Cfrac%7B%7B%5C%5Cmathrm%7B%7BTV%7D%7D(x)%7D%7D%7B%7BT%7D%7D%20%5C%5Capprox%20%5C%5Cfrac%7B%7B%5C%5Csigma%5E2%7D%7D%7B%7B2%5C%5C%2C(%5C%5Cphi%20%2B%20%5C%5Cbeta%5C%5C%2C%5C%5Csigma%5C%5Csqrt%7B%7B%5C%5CDelta%20t%7D%7D)%7D%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20Within%20%7B_err_hi%3A.2%25%7D%20of%20the%20Markov-chain%20value%20for%20%24u%20%5C%5Cge%200.5%24%3B%20%7B_err_lo%3A.0%25%7D%20off%20at%20%24u%20%3D%20%7Bu_grid%5B0%5D%3A.2g%7D%24%2C%0A%20%20%20%20where%20the%20slope%20is%20%241%2F%5C%5Ckappa%5E%5C%5Cstar%24%20and%20the%20correction%20is%20not%20small%20against%20%24u%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_volume_intro()%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%205.%20Volume%0A%0A%20%20%20%20From%20%24F%20%3D%20%5Cphi%5C%2C%5Cmathrm%7BTV%7D(x)%24%20and%20%24F%20%3D%20%5Cmathcal%7BC%7D(u)%5Ccdot%5Ctfrac12%5Csigma%5E2%20T%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bquote%20volume%20per%20year%7D%7D%7BL%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7BTV%7D(x)%7D%7BT%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Csigma%5E2%7D%7B2%5Cphi%7D%5C%2C%5Cmathcal%7BC%7D(u).%24%24%0A%0A%20%20%20%20Two%20bounds%2C%20and%20the%20curve%20sits%20under%20both%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**cadence%20bound**%2C%20%24u%20%5Cto%200%24%3A%20%24%5Csigma%5Csqrt%7B2%2F%5Cpi%7D%5C%2C%2F%5Csqrt%7B%5CDelta%20t%7D%24%20per%20year%20%E2%80%94%20776%20%C3%97%20%24L%24%20at%2060%20%25%20and%2012%20s%2C%0A%20%20%20%20%20%20the%20every-block%20model's%20volume%20figure.%20It%20applies%20when%20%24%5Cphi%20%5Cll%20%5Csigma%5Csqrt%7B%5CDelta%20t%7D%24%2C%20which%20at%2012%20s%20and%0A%20%20%20%20%20%2060%20%25%20means%20%24%5Cphi%20%5Cll%203.7%24%20bp.%0A%20%20%20%20-%20**band%20bound**%2C%20%24u%20%5Cto%20%5Cinfty%24%3A%20%24%5Csigma%5E2%2F(2%5Cphi)%24%20per%20year.%20Independent%20of%20the%20chain.%0A%0A%20%20%20%20So%20the%20answer%20to%20*%22what%20guarantees%20volume%3F%22*%20is%20volatility%3A%20a%20pool%20with%20fee%20%24%5Cphi%24%20on%20an%20asset%20with%0A%20%20%20%20volatility%20%24%5Csigma%24%20turns%20over%20%24%5Ctfrac%7B%5Csigma%5E2%7D%7B2%5Cphi%7D%5Cmathcal%7BC%7D(u)%24%20times%20its%20exposure%20per%20year%20through%0A%20%20%20%20arbitrage%20alone%2C%20and%20pays%20the%20LP%20%24%5Cmathcal%7BC%7D(u)%24%20of%20the%20LVR%20in%20fees%20for%20it.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_controls()%3A%0A%20%20%20%20sigma_ui%20%3D%20mo.ui.slider(10%2C%20300%2C%20step%3D5%2C%20value%3D60%2C%20label%3D%22%CF%83%2C%20annualised%20(%25)%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20phi_ui%20%3D%20mo.ui.slider(0.5%2C%2050%2C%20step%3D0.5%2C%20value%3D5%2C%20label%3D%22%CF%86%2C%20pool%20fee%20(bp)%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20dt_ui%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%220.1%20s%22%3A%200.1%2C%20%220.5%20s%22%3A%200.5%2C%20%221%20s%22%3A%201.0%2C%20%222%20s%22%3A%202.0%2C%20%2212%20s%22%3A%2012.0%2C%20%2260%20s%22%3A%2060.0%7D%2C%20value%3D%2212%20s%22%2C%20label%3D%22%CE%94t%2C%20block%20time%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20phi_ext_ui%20%3D%20mo.ui.slider(0%2C%2020%2C%20step%3D0.5%2C%20value%3D0%2C%20label%3D%22%CF%86_ext%2C%20reference-leg%20friction%20(bp)%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20exposure_ui%20%3D%20mo.ui.number(start%3D1e4%2C%20stop%3D1e10%2C%20step%3D1e4%2C%20value%3D1e6%2C%20label%3D%22L%2C%20exposure%20(quote)%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bmo.hstack(%5Bsigma_ui%2C%20phi_ui%2C%20dt_ui%5D%2C%20wrap%3DTrue)%2C%20mo.hstack(%5Bphi_ext_ui%2C%20exposure_ui%5D%2C%20wrap%3DTrue)%5D)%0A%20%20%20%20return%20dt_ui%2C%20exposure_ui%2C%20phi_ext_ui%2C%20phi_ui%2C%20sigma_ui%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_numbers(dt_ui%2C%20exposure_ui%2C%20phi_ext_ui%2C%20phi_ui%2C%20sigma_ui)%3A%0A%20%20%20%20sigma%20%3D%20sigma_ui.value%20%2F%20100%0A%20%20%20%20phi%20%3D%20phi_ui.value%20*%201e-4%0A%20%20%20%20phi_ext%20%3D%20phi_ext_ui.value%20*%201e-4%0A%20%20%20%20dt_seconds%20%3D%20float(dt_ui.value)%0A%20%20%20%20exposure%20%3D%20float(exposure_ui.value)%0A%20%20%20%20delta%20%3D%200.5%20*%20sum(arb_residuals(phi%2C%20phi_ext))%0A%20%20%20%20step%20%3D%20sigma%20*%20math.sqrt(dt_seconds%20%2F%20SECONDS_PER_YEAR)%0A%20%20%20%20u%20%3D%20delta%20%2F%20step%0A%20%20%20%20cov_band%2C%20arb_frac%20%3D%20band_split(u)%0A%20%20%20%20lvr_yr%20%3D%200.5%20*%20sigma**2%0A%20%20%20%20tv_yr%20%3D%20cov_band%20*%20lvr_yr%20%2F%20delta%20%20%23%20%CE%B4%C2%B7TV%20%3D%20C%C2%B7%C2%BD%CF%83%C2%B2T%0A%20%20%20%20fees_yr%20%3D%20phi%20*%20tv_yr%0A%20%20%20%20ext_yr%20%3D%20phi_ext%20*%20tv_yr%0A%20%20%20%20arb_yr%20%3D%20arb_frac%20*%20lvr_yr%0A%20%20%20%20cadence_bound%20%3D%20sigma%20*%20math.sqrt(2%20%2F%20math.pi)%20%2F%20math.sqrt(dt_seconds%20%2F%20SECONDS_PER_YEAR)%0A%20%20%20%20band_bound%20%3D%20sigma**2%20%2F%20(2%20*%20delta)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arb_yr%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20band_bound%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cadence_bound%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cov_band%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20delta%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dt_seconds%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20exposure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ext_yr%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fees_yr%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lvr_yr%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20phi%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20phi_ext%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sigma%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tv_yr%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20u%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_numbers_table(%0A%20%20%20%20arb_yr%2C%0A%20%20%20%20band_bound%2C%0A%20%20%20%20cadence_bound%2C%0A%20%20%20%20cov_band%2C%0A%20%20%20%20delta%2C%0A%20%20%20%20dt_seconds%2C%0A%20%20%20%20exposure%2C%0A%20%20%20%20ext_yr%2C%0A%20%20%20%20fees_yr%2C%0A%20%20%20%20lvr_yr%2C%0A%20%20%20%20sigma%2C%0A%20%20%20%20step%2C%0A%20%20%20%20tv_yr%2C%0A%20%20%20%20u%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20def%20_money(v%3A%20float)%20-%3E%20str%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20f%22%7Bv%3A%2C.0f%7D%22%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%7C%20%7C%20per%20unit%20%24L%24%2C%20per%20year%20%7C%20at%20%24L%24%20%3D%20%7B_money(exposure)%7D%20%7C%20per%20day%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20arbitrage%20volume%20%24%5C%5Cmathrm%7B%7BTV%7D%7D(x)%24%20%7C%20**%7Btv_yr%3A.1f%7D%20%C3%97**%20%7C%20%7B_money(tv_yr%20*%20exposure)%7D%20%7C%20%7B_money(tv_yr%20*%20exposure%20%2F%20365.25)%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20LVR%20%24%5C%5Ctfrac12%5C%5Csigma%5E2%24%20%7C%20%7Blvr_yr%3A.4f%7D%20%7C%20%7B_money(lvr_yr%20*%20exposure)%7D%20%7C%20%7B_money(lvr_yr%20*%20exposure%20%2F%20365.25)%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20fees%20to%20LP%20%24F%24%20%7C%20%7Bfees_yr%3A.4f%7D%20%7C%20%7B_money(fees_yr%20*%20exposure)%7D%20%7C%20%7B_money(fees_yr%20*%20exposure%20%2F%20365.25)%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20arbitrageur's%20profit%20%24%5C%5Ctfrac12%5C%5CSigma(x)%24%20%7C%20%7Barb_yr%3A.4f%7D%20%7C%20%7B_money(arb_yr%20*%20exposure)%7D%20%7C%20%7B_money(arb_yr%20*%20exposure%20%2F%20365.25)%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20paid%20on%20the%20reference%20leg%20%7C%20%7Bext_yr%3A.4f%7D%20%7C%20%7B_money(ext_yr%20*%20exposure)%7D%20%7C%20%7B_money(ext_yr%20*%20exposure%20%2F%20365.25)%7D%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%24%5C%5Csigma%5C%5Csqrt%7B%7B%5C%5CDelta%20t%7D%7D%24%20%3D%20%7Bstep%20*%201e4%3A.2f%7D%20bp%20per%20block%2C%20band%20half-width%20%24%5C%5Cdelta%24%20%3D%20%7Bdelta%20*%201e4%3A.2f%7D%20bp%2C%0A%20%20%20%20%24u%24%20%3D%20%7Bu%3A.2f%7D%2C%20coverage%20%24%5C%5Cmathcal%7B%7BC%7D%7D(u)%24%20%3D%20**%7Bcov_band%3A.1%25%7D**%20of%20LVR%20collected%20as%20fees.%0A%20%20%20%20Cadence%20bound%20%7Bcadence_bound%3A.0f%7D%20%C3%97%20%24L%24%20%2F%20yr%2C%20band%20bound%20%7Bband_bound%3A.0f%7D%20%C3%97%20%24L%24%20%2F%20yr%2C%20actual%20%7Btv_yr%3A.0f%7D%20%C3%97.%0A%20%20%20%20Fee%20APR%20on%20exposure%20%7Bfees_yr%3A.2%25%7D%20against%20an%20LVR%20of%20%7Blvr_yr%3A.2%25%7D%3B%20the%20LP's%20edge%20against%20continuous%0A%20%20%20%20rebalancing%20from%20this%20flow%20is%20%E2%88%92%7Barb_yr%3A.2%25%7D%20at%20%CF%83%20%3D%20%7Bsigma%3A.0%25%7D%2C%20%CE%94t%20%3D%20%7Bdt_seconds%3Ag%7D%20s.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_volume_figure(sigma)%3A%0A%20%20%20%20_theme%20%3D%20mo.app_meta().theme%0A%20%20%20%20_c%20%3D%20PALETTE%5B_theme%5D%0A%20%20%20%20_phi_bp%20%3D%20np.geomspace(0.5%2C%20100%2C%2036)%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20go.Figure(layout%3Dbase_layout(_theme%2C%20f%22Arbitrage%20volume%20per%20unit%20L%20per%20year%20at%20%CF%83%20%3D%20%7Bsigma%3A.0%25%7D%22))%0A%20%20%20%20for%20_dt_s%2C%20_col%2C%20_name%20in%20((0.1%2C%20_c%5B%22s1%22%5D%2C%20%22%CE%94t%20%3D%200.1%20s%22)%2C%20(12.0%2C%20_c%5B%22s2%22%5D%2C%20%22%CE%94t%20%3D%2012%20s%22)%2C%20(60.0%2C%20_c%5B%22s3%22%5D%2C%20%22%CE%94t%20%3D%2060%20s%22))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s%20%3D%20sigma%20*%20math.sqrt(_dt_s%20%2F%20SECONDS_PER_YEAR)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_vol%20%3D%20np.array(%5Bband_split(float(_p%20*%201e-4%20%2F%20_s))%5B0%5D%20*%200.5%20*%20sigma**2%20%2F%20(_p%20*%201e-4)%20for%20_p%20in%20_phi_bp%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(x%3D_phi_bp%2C%20y%3D_vol%2C%20name%3D_name%2C%20line%3D%7B%22color%22%3A%20_col%2C%20%22width%22%3A%202%7D%2C%20hovertemplate%3D%22%25%7By%3A%2C.0f%7D%20%C3%97%20L%22))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.add_annotation(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dmath.log10(_phi_bp%5B-1%5D)%2C%20y%3Dmath.log10(_vol%5B-1%5D)%2C%20text%3D_name%2C%20showarrow%3DFalse%2C%20xanchor%3D%22left%22%2C%20xshift%3D6%2C%20font%3D%7B%22color%22%3A%20_col%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_phi_bp%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dsigma**2%20%2F%20(2%20*%20_phi_bp%20*%201e-4)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22band%20bound%20%CF%83%C2%B2%20%2F%202%CF%86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3D%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22muted%22%5D%2C%20%22width%22%3A%201.5%2C%20%22dash%22%3A%20%22dash%22%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hovertemplate%3D%22%25%7By%3A%2C.0f%7D%20%C3%97%20L%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis%3D%7B%22type%22%3A%20%22log%22%2C%20%22title%22%3A%20%22%CF%86%20(bp)%22%2C%20%22tickvals%22%3A%20%5B0.5%2C%201%2C%202%2C%205%2C%2010%2C%2020%2C%2050%2C%20100%5D%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis%3D%7B%22type%22%3A%20%22log%22%2C%20%22title%22%3A%20%22volume%20%2F%20L%20per%20year%22%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_mc_intro()%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%206.%20Monte%20Carlo%20with%20the%20exact%20swap%20arithmetic%0A%0A%20%20%20%20The%20identity%20of%20section%203%20drops%20%24O(%5Cdelta%5E2)%24%20terms%20and%20the%20Markov%20chain%20of%20section%204%20discretises%20the%20band.%0A%20%20%20%20The%20simulation%20below%20keeps%20everything%20exact%3A%20Gaussian%20log-returns%20per%20block%2C%20the%20arbitrageur's%20optimal%0A%20%20%20%20stop%20%24%5Cdelta_%5Cpm%24%2C%20fees%20on%20the%20quote%20leg%2C%20and%20the%20arbitrageur's%20profit%20from%20the%20log-invariant%20swap%20formulas.%0A%20%20%20%20It%20reports%20per%20unit%20%24L%24%20per%20year%2C%20averaged%20over%20paths.%20The%20horizon%20is%20set%20in%20blocks%20so%20the%20run%20time%20does%0A%20%20%20%20not%20depend%20on%20%24%5CDelta%20t%24%3B%20at%2012%20s%20the%20default%205%2C000%20blocks%20is%2016.7%20hours%20per%20path.%20Widen%20it%20locally.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_mc_controls()%3A%0A%20%20%20%20blocks_ui%20%3D%20mo.ui.slider(1_000%2C%2050_000%2C%20step%3D1_000%2C%20value%3D5_000%2C%20label%3D%22blocks%20per%20path%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20paths_ui%20%3D%20mo.ui.slider(8%2C%20128%2C%20step%3D8%2C%20value%3D32%2C%20label%3D%22paths%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20seed_ui%20%3D%20mo.ui.number(start%3D0%2C%20stop%3D10_000%2C%20step%3D1%2C%20value%3D7%2C%20label%3D%22seed%22)%0A%20%20%20%20window_ui%20%3D%20mo.ui.slider(1%2C%2048%2C%20step%3D1%2C%20value%3D6%2C%20label%3D%22sample-path%20window%20(hours)%22%2C%20show_value%3DTrue)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bblocks_ui%2C%20paths_ui%2C%20seed_ui%2C%20window_ui%5D%2C%20wrap%3DTrue)%0A%20%20%20%20return%20blocks_ui%2C%20paths_ui%2C%20seed_ui%2C%20window_ui%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_mc_run(blocks_ui%2C%20dt_seconds%2C%20paths_ui%2C%20phi%2C%20phi_ext%2C%20seed_ui%2C%20sigma)%3A%0A%20%20%20%20years%20%3D%20blocks_ui.value%20*%20dt_seconds%20%2F%20SECONDS_PER_YEAR%0A%20%20%20%20mc%20%3D%20simulate_band(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sigma%3Dsigma%2C%20phi%3Dphi%2C%20dt_seconds%3Ddt_seconds%2C%20years%3Dyears%2C%20n_paths%3Dint(paths_ui.value)%2C%20seed%3Dint(seed_ui.value)%2C%20phi_ext%3Dphi_ext%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20mc%2C%20years%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_mc_table(cov_band%2C%20mc%2C%20phi%2C%20phi_ext%2C%20years)%3A%0A%20%20%20%20_per_year%20%3D%201.0%20%2F%20years%0A%20%20%20%20_f%20%3D%20float(np.mean(phi%20*%20mc%5B%22tv%22%5D))%20*%20_per_year%0A%20%20%20%20_ext%20%3D%20float(np.mean(phi_ext%20*%20mc%5B%22tv%22%5D))%20*%20_per_year%0A%20%20%20%20_lvr%20%3D%20float(np.mean(0.5%20*%20mc%5B%22sigma_ref%22%5D))%20*%20_per_year%0A%20%20%20%20_arb_quad%20%3D%20float(np.mean(0.5%20*%20mc%5B%22sigma_pool%22%5D))%20*%20_per_year%0A%20%20%20%20_arb_exact%20%3D%20float(np.mean(mc%5B%22arb_profit%22%5D))%20*%20_per_year%0A%20%20%20%20_residual%20%3D%20(_f%20%2B%20_ext%20%2B%20_arb_quad)%20-%20_lvr%0A%20%20%20%20_trades%20%3D%20float(np.mean(mc%5B%22n_trades%22%5D))%0A%20%20%20%20_lp_share%20%3D%20phi%20%2F%20(phi%20%2B%20phi_ext)%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%7C%20per%20unit%20%24L%24%20per%20year%20%7C%20Monte%20Carlo%20%7C%20prediction%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20LVR%20%24%5C%5Ctfrac12%5C%5CSigma(X)%24%20%7C%20%7B_lvr%3A.4f%7D%20%7C%20%7B0.5%20*%20(mc%5B%22step%22%5D%20**%202)%20*%20mc%5B%22n_blocks%22%5D%20*%20_per_year%3A.4f%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20fees%20%24F%20%3D%20%5C%5Cphi%5C%5C%2C%5C%5Cmathrm%7B%7BTV%7D%7D(x)%24%20%7C%20%7B_f%3A.4f%7D%20%7C%20%7Bcov_band%20*%20_lvr%20*%20_lp_share%3A.4f%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20arbitrageur%2C%20quadratic%20%24%5C%5Ctfrac12%5C%5CSigma(x)%24%20%7C%20%7B_arb_quad%3A.4f%7D%20%7C%20%7B(1%20-%20cov_band)%20*%20_lvr%3A.4f%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20arbitrageur%2C%20exact%20swap%20arithmetic%20%7C%20%7B_arb_exact%3A.4f%7D%20%7C%20%E2%80%94%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20reference-leg%20friction%20%7C%20%7B_ext%3A.4f%7D%20%7C%20%7Bcov_band%20*%20_lvr%20*%20(1%20-%20_lp_share)%3A.4f%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20identity%20residual%20%24(%5C%5Cdelta%5C%5C%2C%5C%5Cmathrm%7B%7BTV%7D%7D%20%2B%20%5C%5Ctfrac12%5C%5CSigma(x))%20-%20%5C%5Ctfrac12%5C%5CSigma(X)%24%20%7C%20%7B_residual%3A%2B.5f%7D%20%7C%200%20%7C%0A%0A%20%20%20%20Coverage%20measured%20%7B_f%20%2F%20_lvr%3A.1%25%7D%20against%20%7Bcov_band%20*%20_lp_share%3A.1%25%7D%20predicted.%0A%20%20%20%20The%20arbitrageur%20traded%20in%20%7B_trades%20%2F%20mc%5B%22n_blocks%22%5D%3A.1%25%7D%20of%20blocks%2C%20one%20trade%20every%0A%20%20%20%20%7Bmc%5B%22n_blocks%22%5D%20%2F%20max(_trades%2C%201.0)%3A.1f%7D%20blocks%20on%20average%20(%7Bmc%5B%22n_blocks%22%5D%3A%2C%7D%20blocks%20%C3%97%20%7Bmc%5B%22tv%22%5D.size%7D%20paths).%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_path_figure(delta%2C%20dt_seconds%2C%20mc%2C%20window_ui)%3A%0A%20%20%20%20_theme%20%3D%20mo.app_meta().theme%0A%20%20%20%20_c%20%3D%20PALETTE%5B_theme%5D%0A%20%20%20%20_n%20%3D%20min(mc%5B%22n_blocks%22%5D%2C%20int(window_ui.value%20*%203600%20%2F%20dt_seconds))%20%2B%201%0A%20%20%20%20_t_h%20%3D%20mc%5B%22t_days%22%5D%5B%3A_n%5D%20*%2024%0A%20%20%20%20_x_ref%20%3D%20mc%5B%22x_ref_path%22%5D%5B%3A_n%5D%20*%201e4%0A%20%20%20%20_x_pool%20%3D%20mc%5B%22x_pool_path%22%5D%5B%3A_n%5D%20*%201e4%0A%20%20%20%20_fig%20%3D%20go.Figure(layout%3Dbase_layout(_theme%2C%20%22Sample%20path%3A%20reference%20log-price%20and%20the%20pool's%20dead-band%20follower%22))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(x%3D_t_h%2C%20y%3D_x_pool%20%2B%20delta%20*%201e4%2C%20line%3D%7B%22width%22%3A%200%7D%2C%20showlegend%3DFalse%2C%20hoverinfo%3D%22skip%22%2C%20name%3D%22band%22))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D_t_h%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D_x_pool%20-%20delta%20*%201e4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3D%22tonexty%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fillcolor%3D%22rgba(137%2C135%2C129%2C0.15)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20line%3D%7B%22width%22%3A%200%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22no-arbitrage%20band%20%C2%B1%CE%B4%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hoverinfo%3D%22skip%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(x%3D_t_h%2C%20y%3D_x_ref%2C%20name%3D%22reference%20X%22%2C%20line%3D%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22s1%22%5D%2C%20%22width%22%3A%201.5%7D%2C%20hovertemplate%3D%22%25%7By%3A.1f%7D%20bp%22))%0A%20%20%20%20_fig.add_trace(go.Scatter(x%3D_t_h%2C%20y%3D_x_pool%2C%20name%3D%22pool%20x%22%2C%20line%3D%7B%22color%22%3A%20_c%5B%22s2%22%5D%2C%20%22width%22%3A%202%7D%2C%20hovertemplate%3D%22%25%7By%3A.1f%7D%20bp%22))%0A%20%20%20%20_fig.update_layout(xaxis%3D%7B%22title%22%3A%20%22hours%22%7D%2C%20yaxis%3D%7B%22title%22%3A%20%22log-price%20(bp%20from%20start)%22%7D)%0A%20%20%20%20_fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_lvr_md_reconciliation()%3A%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_dt_s%2C%20_reported%20in%20((0.1%2C%200.1243)%2C%20(12.0%2C%200.1125)%2C%20(60.0%2C%200.0949))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s%20%3D%200.5%20*%20math.sqrt(_dt_s%20%2F%20SECONDS_PER_YEAR)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_cov%2C%20_arb%20%3D%20band_split(3e-3%20%2F%20_s)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7C%20%7B_dt_s%3Ag%7D%20s%20%7C%20%7B3e-3%20%2F%20_s%3A.1f%7D%20%7C%20%7B_cov%20*%200.125%3A.4f%7D%20%7C%20%7B_arb%20*%200.125%3A.4f%7D%20%7C%20%7B(_cov%20-%20_arb)%20*%200.125%3A%2B.4f%7D%20%7C%20%7B_reported%3A%2B.4f%7D%20%7C%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_table%20%3D%20%22%5Cn%22.join(_rows)%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Cross-check%20against%20an%20earlier%20harness%0A%0A%20%20%20%20An%20independent%20simulation%20of%20the%20same%20band%20model%20(August%202026%3B%20%CF%83%20%3D%2050%20%25%2C%20fixed%2030%20bp%20fee)%20reported%20an%20LP%0A%20%20%20%20edge%2C%20read%20from%20the%20pool's%20own%20accumulators%20as%20%24F%20-%20%5C%5Ctfrac12%5C%5CSigma(x)%24%2C%20of%20%2B0.1243%20%2F%20%2B0.1125%20%2F%20%2B0.0949%20per%0A%20%20%20%20unit%20%24L%24%20per%20year%20at%200.1%20%2F%2012%20%2F%2060%20s%20blocks%2C%20where%20LVR%20is%200.125.%20This%20model's%20prediction%20for%20the%20same%0A%20%20%20%20parameters%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5C%5CDelta%20t%24%20%7C%20%24u%24%20%7C%20%24F%24%20%7C%20%24%5C%5Ctfrac12%5C%5CSigma(x)%24%20%7C%20%24F%20-%20%5C%5Ctfrac12%5C%5CSigma(x)%24%20%7C%20harness%20edge%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7B_table%7D%0A%0A%20%20%20%20Agreement%20within%202%20%25%20at%20each%20block%20time.%20On%20the%20same%20paths%20the%20edge%20against%20continuous%20rebalancing%20is%0A%20%20%20%20%24F%20-%20%5C%5Ctfrac12%5C%5CSigma(X)%20%3D%20-%5C%5Ctfrac12%5C%5CSigma(x)%24%3A%20the%20fourth%20column%2C%20with%20a%20minus%20sign%20(%C2%A73.4).%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_conclusion_numbers()%3A%0A%20%20%20%20_s12%20%3D%200.6%20*%20math.sqrt(12.0%20%2F%20SECONDS_PER_YEAR)%0A%20%20%20%20_s01%20%3D%200.6%20*%20math.sqrt(0.1%20%2F%20SECONDS_PER_YEAR)%0A%20%20%20%20vol_5bp%20%3D%20band_split(5e-4%20%2F%20_s12)%5B0%5D%20*%200.5%20*%200.6**2%20%2F%205e-4%0A%20%20%20%20vol_30bp%20%3D%20band_split(3e-3%20%2F%20_s12)%5B0%5D%20*%200.5%20*%200.6**2%20%2F%203e-3%0A%20%20%20%20cov_at_kappa%20%3D%20band_split(KAPPA_STAR)%5B0%5D%0A%20%20%20%20_lo%2C%20_hi%20%3D%201.0%2C%2030.0%0A%20%20%20%20for%20_%20in%20range(14)%3A%20%20%23%20bisect%20C(u)%20%3D%200.9%20on%20a%20log%20scale%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mid%20%3D%20math.sqrt(_lo%20*%20_hi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20band_split(_mid)%5B0%5D%20%3C%200.9%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_lo%20%3D%20_mid%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_hi%20%3D%20_mid%0A%20%20%20%20u_90%20%3D%20_hi%0A%20%20%20%20phi_90_12s%20%3D%20u_90%20*%20_s12%20*%201e4%0A%20%20%20%20phi_90_01s%20%3D%20u_90%20*%20_s01%20*%201e4%0A%20%20%20%20return%20cov_at_kappa%2C%20phi_90_01s%2C%20phi_90_12s%2C%20u_90%2C%20vol_30bp%2C%20vol_5bp%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_conclusions(%0A%20%20%20%20cov_at_kappa%2C%0A%20%20%20%20phi_90_01s%2C%0A%20%20%20%20phi_90_12s%2C%0A%20%20%20%20u_90%2C%0A%20%20%20%20vol_30bp%2C%0A%20%20%20%20vol_5bp%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%207.%20What%20can%20be%20said%0A%0A%20%20%20%201.%20**Volume%20is%20guaranteed%20by%20volatility.**%20Arbitrage%20alone%20turns%20a%20pool%20over%0A%20%20%20%20%20%20%20%24%5C%5Ctfrac%7B%7B%5C%5Csigma%5E2%7D%7D%7B%7B2%5C%5Cphi%7D%7D%5C%5C%2C%5C%5Cmathcal%7B%7BC%7D%7D(u)%20%5C%5Capprox%20%5C%5Cdfrac%7B%7B%5C%5Csigma%5E2%7D%7D%7B%7B2%5C%5C%2C(%5C%5Cphi%20%2B%20%5C%5Cbeta%5C%5C%2C%5C%5Csigma%5C%5Csqrt%7B%7B%5C%5CDelta%20t%7D%7D)%7D%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20times%20its%20exposure%20per%20year%2C%20%24%5C%5Cbeta%20%3D%20%7BSIEGMUND%7D%24%2C%20%24u%20%3D%20%5C%5Cphi%2F(%5C%5Csigma%5C%5Csqrt%7B%7B%5C%5CDelta%20t%7D%7D)%24.%20At%2060%20%25%20and%2012%20s%3A%20%7Bvol_5bp%3A.0f%7D%20%C3%97%20%24L%24%20at%205%20bp%2C%20%7Bvol_30bp%3A.0f%7D%20%C3%97%20%24L%24%20at%2030%20bp.%0A%20%20%20%20%20%20%20The%20every-block%20figure%20of%20776%20%C3%97%20%24L%24%20is%20the%20cadence%20bound%20and%20needs%20%24%5C%5Cphi%20%5C%5Cll%203.7%24%20bp%20on%20that%20chain.%0A%20%20%20%202.%20**Fees%20and%20LVR%20are%20tied%20by%20an%20identity.**%20On%20every%20trade%2C%20LP%20loss%20at%20the%20reference%20%3D%20fee%20%2B%20arbitrageur's%0A%20%20%20%20%20%20%20profit%2C%20and%20the%20LP's%20loss%20sums%20to%20the%20reference's%20variance%20whatever%20the%20arbitrageur%20does%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%24%5C%5Cphi%5C%5C%2C%5C%5Cmathrm%7B%7BTV%7D%7D(x)%20%2B%20%5C%5Csum%20d(%5C%5Cbar%20z%20-%20%5C%5Cphi)%20%3D%20%5C%5Ctfrac12%5C%5CSigma(X)%24.%20Under%20the%20optimal%20policy%20the%20profit%0A%20%20%20%20%20%20%20term%20is%20%24%5C%5Ctfrac12%5C%5CSigma(x)%24%2C%20the%20pool's%20own%20quadratic%20variation.%20%24L%24%20multiplies%20every%20term%20and%20cancels.%0A%20%20%20%203.%20**Fees%20from%20arbitrage%20are%20at%20most%20the%20LVR**%2C%20with%20the%20arbitrageur%20keeping%20%241%20-%20%5C%5Cmathcal%7B%7BC%7D%7D(u)%24.%20%24%5C%5Cphi%5E%5C%5Cstar%24%0A%20%20%20%20%20%20%20marks%20where%20the%20every-block%20asymptote%20reaches%201%3B%20the%20LP%20collects%20%7Bcov_at_kappa%3A.0%25%7D%20there.%20Coverage%20above%0A%20%20%20%20%20%20%2090%20%25%20needs%20%24u%20%5C%5Cgtrsim%20%7Bu_90%3A.1f%7D%24%3A%20at%2012%20s%20and%2060%20%25%20that%20is%20%24%5C%5Cphi%20%5C%5Cgtrsim%20%7Bphi_90_12s%3A.0f%7D%24%20bp%2C%20at%200.1%20s%20it%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%24%5C%5Cphi%20%5C%5Cgtrsim%20%7Bphi_90_01s%3A.1f%7D%24%20bp.%0A%20%20%20%204.%20**Against%20rebalancing%2C%20arbitrage%20flow%20costs%20the%20LP%20%24%5C%5Ctfrac12%5C%5CSigma(x)%24%20net%20of%20fees%2C%20at%20any%20fee.**%20A%0A%20%20%20%20%20%20%20positive%20edge%20needs%20flow%20that%20pays%20the%20fee%20without%20extracting%20the%20second-order%20term%20%E2%80%94%20routed%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20retail%20flow.%20Arbitrage%20sets%20the%20floor%20on%20volume%20and%20the%20ceiling%20on%20what%20that%20volume%20can%20pay.%0A%20%20%20%205.%20**The%20band%20regime%20is%20chain-blind.**%20For%20%24u%20%5C%5Cgg%201%24%20volume%20is%20%24%5C%5Csigma%5E2%20L%2F(2%5C%5Cphi)%24%20and%20fees%20are%0A%20%20%20%20%20%20%20%24%5C%5Ctfrac12%5C%5Csigma%5E2%20L%24%20per%20year%20whatever%20%24%5C%5CDelta%20t%24.%20Faster%20chains%20move%20a%20pool%20toward%20this%20regime%20at%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20given%20fee.%0A%20%20%20%206.%20**Frictions%20on%20the%20reference%20leg**%20widen%20the%20band%20to%20%24%5C%5Cphi%20%2B%20%5C%5Cphi_%7B%7B%5C%5Cmathrm%7B%7Bext%7D%7D%7D%7D%24%20and%20cap%20coverage%20at%0A%20%20%20%20%20%20%20%24%5C%5Cphi%2F(%5C%5Cphi%20%2B%20%5C%5Cphi_%7B%7B%5C%5Cmathrm%7B%7Bext%7D%7D%7D%7D)%24.%20A%205%20bp%20pool%20against%20a%202%20bp%20taker%20fee%20tops%20out%20at%2071%20%25.%0A%20%20%20%207.%20**Measuring%20the%20edge%20on-chain%20needs%20the%20reference%20variance.**%20%24F%20-%20%5C%5Ctfrac12%5C%5CSigma%24%20with%20the%20pool's%20own%0A%20%20%20%20%20%20%20%24%5C%5CSigma%24%20overstates%20the%20edge%20by%20%24%5C%5Ctfrac12(%5C%5CSigma(X)%20-%20%5C%5CSigma(x))%24%2C%20the%20whole%20LVR%20in%20the%20band%20regime.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Assumptions%20to%20keep%20in%20view%0A%0A%20%20%20%20Driftless%20Gaussian%20log-returns%3B%20one%20arbitrageur%20acting%20at%20block%20boundaries%20with%20no%20latency%3B%20frictions%0A%20%20%20%20proportional%20to%20volume%20(a%20fixed%20gas%20cost%20makes%20the%20effective%20band%20depend%20on%20trade%20size)%3B%20no%20jumps%20(a%0A%20%20%20%20jump%20lands%20in%20%24%5C%5CSigma(X)%24%20at%20second%20order%20and%20in%20%24%5C%5Cmathrm%7B%7BTV%7D%7D(x)%24%20at%20first%20order%2C%20so%20it%20moves%20the%20split%0A%20%20%20%20toward%20the%20arbitrageur%3A%20variance%20is%20tail-dominated%2C%20total%20variation%20is%20not)%3B%20no%20other%20flow.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A